Batch normalization

深度学习尤其是在CV上都需要对数据做归一化，因为深度神经网络主要就是为了学习训练数据的分布，并在测试集上达到很好的泛化效果，但是，如果我们每一个batch输入的数据都具有不同的分布，显然会给网络的训练带来困难。另一方面，数据经过一层层网络计算后，其数据分布也在发生着变化，此现象称为Internal Covariate Shift。

机器学习领域有个很重要的假设：IID独立同分布假设，就是假设训练数据和测试数据是满足相同分布的，这是通过训练数据获得的模型能够在测试集获得好的效果的一个基本保障。BatchNorm的作用就是在深度神经网络训练过程中使得每一层神经网络的输入保持相同分布的（标准正态分布）。

Internal covariate shift的概念：训练深度网络的时候经常发生训练困难的问题，因为，每一次参数迭代更新后，上一层网络的输出数据经过这一层网络计算后，数据的分布会发生变化，为下一层网络的学习带来困难（神经网络本来就是要学习数据的分布，要是分布一直在变，学习就很难了），此现象称之为Internal Covariate Shift。

对于深度学习这种包含很多隐层的网络结构，在训练过程中，因为各层参数不停在变化，所以每个隐层都会面临covariate shift的问题，也就是在训练过程中，隐层的输入分布老是变来变去，这就是所谓的“Internal Covariate Shift”，Internal指的是深层网络的隐层，是发生在网络内部的事情，而不是covariate shift问题只发生在输入层。

BN的基本思想就是让每个隐层节点的激活输入分布固定下来（都满足标准正态分布 ）

BN产生的灵感

之前的研究表明如果在图像处理中对输入图像进行白化（Whiten）操作的话——所谓白化，就是对输入数据分布变换到0均值，单位方差的正态分布——那么神经网络会较快收敛，那么BN作者就开始推论了：图像是深度神经网络的输入层，做白化能加快收敛，那么其实对于深度网络来说，其中某个隐层的神经元是下一层的输入，意思是其实深度神经网络的每一个隐层都是输入层，不过是相对下一层来说而已，那么能不能对每个隐层都做白化呢？这就是启发BN产生的原初想法，而BN也确实就是这么做的，可以理解为对深层神经网络每个隐层神经元的激活值做简化版本的白化操作。

BatchNorm的本质思想

深层神经网络在做非线性变换前的激活函数的输入值（就是那个x=WU+B，U是输入）随着网络深度加深或者在训练过程中，其分布逐渐发生偏移或者变动，之所以训练收敛慢，一般是整体分布逐渐往非线性函数的取值区间的上下限两端靠近（对于Sigmoid函数来说，意味着激活输入值WU+B是大的负值或正值），所以这导致反向传播时低层神经网络的梯度消失，这是训练深层神经网络收敛越来越慢的本质原因，而BN就是通过一定的规范化手段，把每层神经网络任意神经元这个输入值的分布强行拉回到均值为0方差为1的标准正态分布，其实就是把越来越偏的分布强制拉回比较标准的分布，这样使得激活输入值落在非线性函数对输入比较敏感的区域，这样输入的小变化就会导致损失函数较大的变化，意思是这样让梯度变大，避免梯度消失问题产生，而且梯度变大意味着学习收敛速度快，能大大加快训练速度。

也即，==对于每一个隐层的神经元，原来的神经元的输出（x=WU+B）在经过非线性函数映射之后会逐渐向取值区间极限饱和取靠拢，BN的作用就是将该输出的分布强制拉回到均值为0方差为1的标准正态分布。使得非线性变换函数的输入值落入对输入比较敏感的区域，以此避免梯度消失问题。==因为梯度一直都能保持比较大的状态，所以很明显对神经网络的参数调整效率比较高，就是变动大，就是说向损失函数最优值迈动的步子大，也就是说收敛地快。

经过BN后，大部分激活函数的输入值位于非线性函数的线性区内（比如在sigmoid函数的0附近），其对应的导数远离导数饱和区，这样来加速训练收敛过程。

但是很明显，看到这里，稍微了解神经网络的读者一般会提出一个疑问：如果都通过BN，那么不就跟把非线性函数替换成线性函数效果相同了？这意味着什么？我们知道，如果是多层的线性函数变换其实这个深层是没有意义的，因为多层线性网络跟一层线性网络是等价的。这意味着网络的表达能力下降了，这也意味着深度的意义就没有了。所以BN为了保证非线性的获得，对变换后的满足均值为0方差为1的x又进行了scale加上shift操作(y=scale*x+shift)，每个神经元增加了两个参数scale和shift参数，这两个参数是通过训练学习到的，意思是通过scale和shift把这个值从标准正态分布左移或者右移一点并长胖一点或者变瘦一点，每个实例挪动的程度不一样，这样等价于非线性函数的值从正中心周围的线性区往非线性区动了动。核心思想应该是想找到一个线性和非线性的较好平衡点，既能享受非线性的较强表达能力的好处，又避免太靠非线性区两头使得网络收敛速度太慢。

训练阶段如何做BatchNorm

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要对每个隐层神经元的激活值做BN，可以想象成每个隐层又加上了一层BN操作层，它位于X=WU+B获得之后，使用激活函数进行非线性变换之前，其图示如下：

对于Mini-Batch SGD来说，一次训练过程里面包含m个训练实例，其具体BN操作就是对于隐层内每个神经元的激活值来说，进行如下变换：
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这里t层某个神经元的x(k)不是指原始输入，就是说不是t-1层每个神经元的输出，而是t层这个神经元的线性激活x=WU+B，这里的U才是t-1层神经元的输出。变换的意思是：某个神经元对应的原始的线性激活x通过减去mini-Batch内m个实例获得的m个激活x求得的均值E(x)并除以求得的方差Var(x)来进行转换。

上文说过经过这个变换后某个神经元的激活x形成了均值为0，方差为1的正态分布，目的是把值往后续要进行的非线性变换的线性区拉动，增大导数值，增强反向传播信息流动性，加快训练收敛速度。但是这样会导致网络表达能力下降，为了防止这一点，每个神经元增加两个调节参数（scale和shift），这两个参数是通过训练来学习到的，用来对变换后的激活反变换，使得网络表达能力增强，即对变换后的激活进行如下的scale和shift操作，这其实是变换的反操作：
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BN其具体操作流程，如论文中描述的一样

前推时图和使用BN

BN在训练的时候可以根据Mini-Batch里的若干训练实例进行激活数值调整，但是在推理（inference）的过程中，很明显输入就只有一个实例，看不到Mini-Batch其它实例，那么这时候怎么对输入做BN呢？

可以用从所有训练实例中获得的统计量来代替Mini-Batch里面m个训练实例获得的均值和方差统计量。只要把每个Mini-Batch的均值和方差统计量记住，然后对这些均值和方差求其对应的数学期望即可得出全局统计量，测试时直接用即：
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有了均值和方差，每个隐层神经元也已经有对应训练好的Scaling参数和Shift参数，就可以在推导的时候对每个神经元的激活数据计算NB进行变换了。