推导一:
定义一个变上限积分函数
,让函数
获得增量
,则对应的函数增量
根据积分中值定理可得,
所以
因为
所以
即
推导二:
我们用分点
将被积区间
等分成 个小区间,每个小区间长度为 。相应的原函数 的总改变量 可分为 个部分改变量的和。即:
根据微分中值定理,在每个小区间
内,一定存在一点 ,使得。
从而
。
当
时,根据定积分的定义,我们有。
上面的公式被认为是微积分中最重要的公式。它的存在,避免了利用定义求定积分时可能会遇到的复杂性与技巧性,使得定积分的计算过程大大简化,同时也把定积分(被定义为积分和的极限)与不定积分(被定义为原函数)两个看起来毫不相干的概念联系起来。这个公式就是大名鼎鼎的「微积分基本定理」。
值得注意的是,微积分基本定理也不是万能的。利用微积分基本定理求定积分,需要求出被积函数的不定积分。但是,求原函数并不都是很容易的,有时甚至原函数根本无法用初等函数表示。况且从工程、技术、科研、经济、金融等实际应用中遇到的大量被积函数,常常是用表格或曲线给出的,这时写不出被积函数的表达式,当然也就无法用式子写出它的原函数。这时,我们通常借助数值计算法求出定积分的近似值。在计算机广泛应用的今天,数值计算在复杂的大数据面前显得更加重要。
来源:CSDN
作者:研发之道
链接:https://blog.csdn.net/lsgqjh/article/details/79168099