牛顿-莱布尼茨公式证明

走远了吗. 提交于 2019-12-07 05:04:53

推导一:

定义一个变上限积分函数
 

 
,让函数
 

 
获得增量
 

 
,则对应的函数增量

根据积分中值定理可得,

 
,(ξ在x与x+Δx之间)

 
所以

 
 

因为

 
,所以
 

 
,即
 

所以


  

推导二:

我们用分点

将被积区间 

 等分成 

 个小区间,每个小区间长度为 

 。相应的原函数 

 的总改变量 

 可分为 

 个部分改变量的和。即:


根据微分中值定理,在每个小区间 

 内,一定存在一点 

 ,使得

 。


从而

 。


当 

 时,根据定积分的定义,我们有

 。


上面的公式被认为是微积分中最重要的公式。它的存在,避免了利用定义求定积分时可能会遇到的复杂性与技巧性,使得定积分的计算过程大大简化,同时也把定积分(被定义为积分和的极限)与不定积分(被定义为原函数)两个看起来毫不相干的概念联系起来。这个公式就是大名鼎鼎的「微积分基本定理」。


值得注意的是,微积分基本定理也不是万能的。利用微积分基本定理求定积分,需要求出被积函数的不定积分。但是,求原函数并不都是很容易的,有时甚至原函数根本无法用初等函数表示。况且从工程、技术、科研、经济、金融等实际应用中遇到的大量被积函数,常常是用表格或曲线给出的,这时写不出被积函数的表达式,当然也就无法用式子写出它的原函数。这时,我们通常借助数值计算法求出定积分的近似值。在计算机广泛应用的今天,数值计算在复杂的大数据面前显得更加重要。

易学教程内所有资源均来自网络或用户发布的内容,如有违反法律规定的内容欢迎反馈
该文章没有解决你所遇到的问题?点击提问,说说你的问题,让更多的人一起探讨吧!