前言
数学思维
我们学习过求解这样的题目，使用换元法求解的。
如已知\(f(x)+2f(-x)=2x+3\)，求\(f(x)\)的解析式；
再如已知\(3f(x)+f(\cfrac{1}{x})=x\)，求\(f(x)\)的解析式。
由\(ax^2+bx+c>0\)的解集为\((-1，2)\)，得到\(a(-x)^2+b(-x)+c>0\)的解集为\((-2，1)\)，
即关于\(x\)的不等式\(ax^2-bx+c>0\)的解集为\((-2，1)\)。
参考上述解法，若关于\(x\)的不等式\(\cfrac{k}{x+a}+\cfrac{x+b}{x+c}<0\)的解集为\((-1，-\cfrac{1}{3})\cup(\cfrac{1}{2}，1)\)，则关于\(x\)的不等式\(\cfrac{kx}{ax+1}+\cfrac{bx+1}{cx+1}<0\)的解集为________.
分析：本题目对学生的思维的灵活性要求比较高，需要有一定的数学素养的储备。
关于\(x\)的不等式\(\cfrac{k}{x+a}+\cfrac{x+b}{x+c}<0\)的解集为\(x\in (-1，-\cfrac{1}{3})\cup(\cfrac{1}{2}，1)\)，所以用\(\cfrac{1}{x}\)代换解集中的\(x\)，
\(-1<\cfrac{1}{x}<-\cfrac{1}{3}\)或者\(\cfrac{1}{2}<\cfrac{1}{x}<1\)，可得\(-3<x<-1\)或\(1<x<2\)，用\(\cfrac{1}{x}\)代换原不等式中的\(x\)，
即为\(\cfrac{k(\cfrac{1}{x})}{a(\cfrac{1}{x})+1}+\cfrac{b(\cfrac{1}{x})+1}{c(\cfrac{1}{x})+1}<0\)的解集为\(-3<x<-1\)或\(1<x<2\)，
即就是\(x\)的不等式\(\cfrac{kx}{ax+1}+\cfrac{bx+1}{cx+1}<0\)的解集为\(-3<x<-1\)或\(1<x<2\)。
感悟思考：本题目的求解不是常规的求各个系数的值，然后按照常规解不等式，而是巧妙运用代换法求解，即将解集代换，将不等式代换。