树状数组 | 易学教程

树状数组定义：

是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。可以用于处理前缀和的问题,动态维护前缀和的工具

区间修改和区间查询用树状数组会显得很麻烦相对而言用线段树会更灵活。

基本操作：求数列区间和，可以对数列单点进行操作。

前置知识：

lowbit（）操作：返回非负整数x 在二进制表示下，第一个1和后面的0表示的数值（十进制的值）。

int lowbit(int x)
{
     return x&(-x);
}
/*
-i 代表i的负数 计算机中负数使用对应的正数的补码来表示k表示i的二进制中末尾连续0的个数。
例如 : i=6（0110） 此时 k=1
-i=-6=(1001+1)=(1010)
 i&(-i)=(0010)=2=2^K k=1.
C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i];
C[i]=A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+......A[i];
*/

树状数组思想：

区间查询——》前缀和 ——》树结构维护（log₂n）

树状数组 t[x] 保存以x为根的子树中叶节值的和。

观察 t[x] 中每个x的二进制，每一层末尾零相同，零的个数即K对应覆盖的长度，覆盖长度就是lowbit（x）。

t [x] 的父节点为 t【x+lowbit[x]】树的深度为 log₂n+1

基本操作（单点修改查询前缀和）

void update(int x,int val)//单点更新
{
    while(i<=n){
        t[x]+=val;
        i+=lowbit(i);//由叶子节点向上更新树状数组C，从左往右更新
    }
}
int ask(int x)//求区间[1,i]内所有元素的和 即求前缀和
{
    int ans=0;
    while(x>0){
        ans+=t[x];//从右往左累加求和
        x-=lowbit(i);
    }
    return ans;
}