最优化方法

最优化理论（optimization）研究的问题是判定给定目标函数的最大值（最小值）是否存在，并找到令目标函数取到最大值（最小值）的数值 。 目标函数（objective function）或评价函数 ，大多数最优化问题都可以通过使目标函数 f ( x ) f ( x ) 最小化解决，最大化问题则可以通过最小化 f ( x ) f ( x ) 实现。 全局最小值（global minimum） ，也可能找到 局部极小值（local minimum） ，两者的区别在于全局最小值比定义域内所有其他点的函数值都小；而局部极小值只是比所有邻近点的函数值都小。 无约束优化（unconstrained optimization）和约束优化（constrained optimization） 两类。无约束优化对自变量 x x 的取值没有限制，约束优化则把 x x 的取值限制在特定的集合内，也就是满足一定的约束条件。 线性规划（linear programming） 就是一类典型的约束优化，其解决的问题通常是在有限的成本约束下取得最大的收益。约束优化问题通常比无约束优化问题更加复杂，但通过拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）的引入可以将含有 n n 个变量和 k k 个约束条件的问题转化为含有 ( n + k ) ( n + k ) 个变量的无约束优化问题

所谓最优化方法，就是求一个多元函数在某个给定集合上的极值。 min f(x) s.t. x属于K K是某个给定的集合（称为可行集或者是可行域）f(x)是定义在集合K上的实值函数，此外，在模型中，x通常称为决策变量，s.t. 是subject to 的缩写 人们按照可行集的性质对最优化问题，进行一个大致的分类 线性规划和非线性规划 可行集是有限维空间的一个子集 组合优化或网络规划 可行集中的元素是有限的 动态规划 可行集是一个依赖时间的决策序列 最优控制 可行集是无穷维空间的中的一个连续子集 精确线搜索分为两类，一类是使用导数的搜索法，如牛顿法、插值法及抛物线法；另一类是不用导数的搜索，如0.618法，分数法及成功-失败方法 黄金分割法 黄金分割法也称为0.618法，其基本思想是通过试探点函数值的比较，使得包含极小点的搜索区间不断缩小，该方法仅需要计算函数值，适用范围广，使用方便， φ(s) = f(xk + sdk), 此函数是搜索区间[a0,b0]上的单峰函数，在第i次迭代之后，区间为[ai,bi]，取两个试探点pi,qi属于[ai,bi] 且pi<qi 那么计算这个函数的pi和qi的值， 文章来源: https://blog.csdn.net/qq_36344771/article/details/90751739

基于梯度下降法的最优化方法 梯度下降法的基本思想 x+=-lr*dx 其中lr称为学习率，是超参数，是正的常量，其值一般较小。在整个数据集上计算梯度进行参数更新时，只要学习率足够小，每次更新参数时总能使损失函数的值减小。 随机梯度下降法SGD 从训练集中随机抽取小批量样本，计算它们平均损失的梯度，来实现一次参数更新。 用小批量样本的平均损失代替全体样本的平均损失进行参数更新，可以加快参数更新频率，加速收敛。小批量样本的平均损失是全体样本平均损失的无偏估计。这是因为训练集中的同类样本是相关的，同类样本中不同个体的损失是相似的，所以随机抽取的一个样本损失可以作为该类所有样本损失的估计。 如果小批量样本中只有一个样本，那么称为随机梯度下降法(Stochastic Gradient Descent，SGD)。SGD指每次使用一个样本来更新参数，但我们经常使用SGD来指代小批量梯度下降法。小批量样本的数量是一个超参数，它受存储器的存储容量限制，一般设置为32、64、128等2的指数，运算效率会更高。SGD算法中，每次都要随机抽取batch个样本，实现时可以采用先整体打乱训练集，然后每次按顺序取batch个样本的方式。 深度学习中最常用的优化算法之一就是利用SGD及其改进算法进行训练，下面将介绍这些算法。 基本动量法 mu = 0.9 v = mu *v #[1] v += -lr *dx #

目录 一维搜索 一维最优化 一般迭代算法 下降迭代算法 搜索步长确定方法 收敛速度 黄金分割法 进退法 ( 二次插值法 ) 抛物线插值法 三次插值法 一维搜索 一维最优化 一般迭代算法 初始点 \(x^0\) 按照某种规则 \(A\) 产生下一个迭代点 \(x^{k+1}=A(x^k)\) 点列 \({x^k}\) 收敛于最优解 \(x^*\) 下降迭代算法 初始点 \(x^0\) 按照某种规则 \(A\) 产生下一个迭代点 \(x^{k+1}=A(x^k)\) \(f(x^0)>f(x^1)>...>f(x^k)>...\) 下降迭代算法步骤： 给出初始点 \(x^0\) ，令 \(k=0\) 按照某种规则确定下降搜索方向 \(d^k\) 按照某种规则确定搜索步长 \(\lambda_k\) ，使得 \[ f\left(x^{k}+\lambda_{k} d^{k}\right)<f\left(x^{k}\right) \] 令 \(x^{k+1}=x^{k}+\lambda_{k} d^{k}\) 判断 \(x^k\) 是否满足停止条件 搜索步长确定方法 \[ f\left(x^{k}+\lambda_{k} d^{k}\right)=\min _{\lambda} f\left(x^{k}+\lambda d^{k}\right) \] 称 \(\lambda_k\)

课程内容 预备知识 线性规划 一维搜索方法 无约束最优化方法 约束最优化方法 工程应用优化 预备知识 最优化问题 多元函数的Taylor公式 多元函数极值问题 凸集、凸函数和凸优化 算法相关概念 算法概述 最优化问题 数学表示 \[minf(x)\\s.t \quad c(x)\ge 0\] \(x=(x_1,x_2,...,x_n)\) 是一个包含多变量的向量：决策变量 \(c(x)\) 是对各个变量约束的等式和不等式：约束条件 可行域：约束条件在空间围成的区域 可行解：可行域中每个点都是原问题的可行点 \(f(x)\) ：目标函数 最优解：能使目标函数达到最大或最小的可行解 分类 按约束 无约束 有约束 等式约束 不等式约束 按目标函数 线性规划 非线性规划 按函数变量 整数规划 非整数规划 按目标函数个数 单目标优化 多目标优化 多元函数的Taylor公式 多元函数的梯度 偏导 ：多元函数降维时的变化，比如二元函数固定 \(y\) ，只让 \(x\) 单独变化，从而看成关于 \(x\) 的一元函数的变化 \[f_x(x,y)=lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}\] 记作 \(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\) 梯度 ：多元函数在 \(A\)

最优化理论与方法学习笔记 一、引论 1、范数 Frobenius范数： 加权Frobenius范数和加权l 2 范数（其中M是n x n的对称正定矩阵）： 椭圆向量范数： 特别，我们有 关于范数的几个重要不等式是： 二、一维搜索 三、牛顿法 1、最速下降法（梯度下降法，简称梯度法）—— P118 收敛性：线性收敛 2、两点步长梯度法 —— P127 或 其中， 收敛性：R-超线性收敛 来源： https://www.cnblogs.com/lucifer1997/p/11525084.html

今天给大家分享的是 最优化理论 。 简单的来说，就是求一个函数（空间上的一条曲线或曲面）在一个区间中的最小值。由于函数有可能很复杂，或区间范围很大，我们就利用最优化来将区间缩小。最后，确定我们所要的最小值是在经过计算后的缩小的范围中能够得到。 当然，以上的说法不是特别准确。但是，我们可以简单认为是求函数的最小值，但是一般很难一下子求到。所以，我们通过像是线搜法，梯度下降法，牛顿法，拟牛顿法等等方法，缩小了最小值可能存在的区间范围。 最优化理论在机器学习中的应用很广。这里需要介绍的就是凸函数。因为，凸函数的性质很优秀：连续可导，且有最小值。所以，在机器学习中，一些损失函数（很有可能是离散的，不连续的，如0/1）。所以，我们都会将其改造为连续可导的凸函数，然后就是求最小值。但是，现实中很多问题都是NP问题（你不遍历完所有可能性，你就不知道哪个是最优解，就好像有100种口味的肉包子，你不吃完100种，你不能说哪一种是你最喜欢的）。遍历完所有值的计算量有时非常非常大，计算机有可能很难实现。所以，我们一般使用最优化理论，快速的缩小最优解可能在的区域，在这个区域中，我们能找到最优解或是找到次优解（已经比其他区域中的值小很多了）。所以，最优化理论就是在计算资源有限的条件下，使我们能够找到最小的那个值（一般是次优解）。 分享链接： 今天晚上添加链接 来源： https://www.cnblogs

我们解决一个问题时，如果将该问题表示为一个函数f(x)，最优化问题就是求该函数的极小值。通过高等数学知识可以知道，如果该函数连续可导，就可以通过求导，计算导数＝0的点，来求出其极值。但现实问题中，如果f(x)不是连续可导的，就不能用这种方法了。最优化问题就是讨论这种情况。 求最优解的问题可以分为两种：（1）无约束最优问题；（2）有约束最优问题。 无约束最优算法可以表达为：。可以用数值计算方法中的牛顿法、最速梯度下降法等，通过多次循环，求得一次近似的最优解。 转载于:https://www.cnblogs.com/GuoJiaSheng/p/3852188.html 来源： https://blog.csdn.net/weixin_30787531/article/details/98825766