线性代数

1 行向量类：定义 Row< type > 2 常用的typedef rowvec = Row<double> frowvec = Row<float> cx_rowvec = Row<cx_double> cx_frowvec = Row<cx_float> urowvec = Row<uword> irowvec = Row<sword> 3 创建 rowvec r1 = "1,2,3,4"; rowvec r2 = initializer_list<double>{ 1, 2, 3, 4 }; rowvec r3; //行向量未初始化 r3 << 1 << 2 << 3 << 4; rowvec r4(r1); double *elem = new double[4]{1, 2, 3, 4}; rowvec r5(elem, 4); //这个是从elem指针指向的内存中复制元素，所以是安全的 rowvec r6(elem, 4, false); //这个是直接使用elem指针所指向的内存，所以要保证elem所指向的内存在v6的生命期内有效且不被它人使用 //而且向量的大小不能被直接或间接改变 rowvec r7(elem, 4, false, false); //这个是直接使用elem指针所指向的内存，所以要保证elem所指向的内存在v6的生命期内有效且不被它人使用 /

线性代数的本质，源视频 https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E @ 目录 矩阵和线性变换 矩阵乘法与复合变换 Unfortunately, no one can be told what the Matrix is. You have to see it for your self. ------ Morpheus 矩阵是什么？ 矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。而行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。 在线性代数中，最容易被忽略但是非常重要的一点就是线性变换的概念以及它和矩阵的关系。 矩阵和线性变换 对于变换，变换其实就是函数的另外一种说法，它接受一个输入，然后输出对应的结果。 特别的，在线性代数下，我们考虑的是接受一个向量并且输出一个向量的变换。 为什么要用变换呢？ 因为 变换 是在暗示以特定的方式来可视化这 输入-输出 关系，一种理解向量的函数的方式是使用运动。 例如在二维空间中，我们将一个输入向量移动到输出向量的位置，要理解整个变换，我们可以想象每一个输入向量输出到对应输出向量的位置。 二维空间在这种变化时候，我们可以对无限网格上的所有点同时做变换，还可以保留原来坐标的网格，以便追踪起点和终点的位置。 那么什么是线性变换呢

Part1:从解方程组谈起 栗子 :试讨论以下方程的解. \[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1\qquad(1)\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2\qquad(2) \end{cases} \] 解 :将 \((1)\) 乘以 \(a_{21}\) , \((2)\) 乘以 \(a_(11)\) 有 \[\begin{cases} a_{11}a_{21}x_1+a_{12}a_{21}x_2=a_{21}b_1\qquad(3)\\ a_{11}a_{21}x_1+a_{22}a_{11}x_2=a_{11}b_2\qquad(4) \end{cases} \] 消去 \(x_1\) 有 \[(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})x_2=a_{11}b_2-a_{21}b_1 \] 即 \[x_2=\frac{a_{11}b_2-a_{21}b_1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}} \] 重复对 \(x_2\) 消元,有 \[x_1=\frac{a_{22}b_1-a_{12}b_2}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}} \] 当 \(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\ne0\) 时,方程组有唯一解; 当 \(a_{11}a_{22}-a_{12

从数学分析的课本讲起吧. 复旦自己的课本应该可以从六十年代上海科技出的算起(指正式出版),那本书在香港等地翻印后反应据说非常好,似乎丘成桐先生做学生的时候也曾收益与此. 到90年代市面上还能看到的课本里面,有一套陈传璋先生等编的,可能就是上面的书的新版,交大的试点班有几年就拿该书做教材.另外有上海科技版的欧阳光中(谷先生的连襟),秦曾复,朱学炎三位编的课本,好象后来数学系不用了,计算机系倒还在用.那本书里面据说积分的第二中值定理的陈述有点小错. 总的说来,这些书里面都可以看到一本书的影子,就是菲赫今哥尔茨的"数学分析原理",其原因,按照秦老师的说法,是最初在搞教材建设的时候,北大选的"模本"是辛钦的"数学分析简明教程",而复旦则选了"数学分析原理". 后来自然有欧阳先生和姚允龙老师的那本数学分析.我不否认那是一种尝试,但是感觉上总有点别扭.以比较新的观点来看数学分析这样经典的内容在国际上的确是一种潮流,但是从这个意义上说该书做得并不是非常好.而且从整体的 课程体系上说,在后面有实变函数这样一门课的情况下是否有必要引入Lebesgue积分值得商榷. 下面开始讲一些课本,或者说参考书: 菲赫今哥尔茨 "微积分学教程","数学分析原理". 前一本书,俄文版共三卷,中译本共8本; 后一本书,俄文版共二卷,中译本共4本. 此书堪称经典. "微积分学教程"其实连作者

置换矩阵P 置换矩阵（permutations）P是行重新排列了的单位矩阵。对于n×n的矩阵来说一共有n!种行变换的形式。所有的置换矩阵均是可逆的。 在求矩阵的逆，解方程组Ax=b,这些情况下如果出现主元位置为0的时候，就需要使用行互换。 A=LU，其中L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。 P-1 = PT ，PTP = I P矩阵的转置乘以本身等于单位矩阵。 转置矩阵 转置（transpose）记作T，一个3行2列的矩阵，他的转置矩阵为2行3列，且（AT）ij = Aji。 对称矩阵 对称矩阵（symmetric matrices）,一个矩阵为对称矩阵意味着它经过转制之后该矩阵没有变化。AT=A。 一个矩阵乘以他的转置矩阵，得到的矩阵一定是对称矩阵。RTR is always symmetric。 但是为什么呢？ 我们利用定义来证明（RTR）T = RTRTT = RTR，注意这里的矩阵的转置的转置是原矩阵。验证完毕。 向量空间 向量空间（Vector Spaces） 举个例子，R2称为一个平面有所有的2维向量组成的向量空间。为了防止在运算过程中超出向量空间的范围，向量空间必须对数乘和加法两种运算是封闭的或者说对线性组合封闭。R2的子空间必须是过原点的线段，也可以是它本身。第三种R2的子空间是零向量。 这里没听太明白。。。 来源： CSDN 作者： CZZ_CS 链接： https:

关于矩阵的逆有很多性质和定理，例如，可逆矩阵一定是方阵、满秩矩阵、非奇异矩阵，可逆矩阵的行列式的值不为零等等。在证明一个矩阵是不可逆矩阵时，Strang教授讲了一种几何的思路： 矩阵不可逆的证明 根据可逆矩阵的定义，如果方阵 A ∗ B = I \mathbf{A} * \mathbf{B}=\mathbf{I} A ∗ B = I ，则 A \mathbf{A} A 和 B \mathbf{B} B 互称逆矩阵。下面是一个二维不可逆矩阵的例子，有矩阵 A = [ 1 2 2 4 ] \mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix} A = [ 1 2 ​ 2 4 ​ ] ，如果 A \mathbf{A} A 可逆，则有 [ 1 2 2 4 ] ∗ B = [ 1 0 0 1 ] \begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix} * \mathbf{B}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix} [ 1 2 ​ 2 4 ​ ] ∗ B = [ 1 0 ​ 0 1 ​ ] ，对矩阵 [ 1 2 2 4 ] \begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix} [ 1 2 ​ 2 4 ​ ] 中的两个列向量作某种线性组合会得到列向量 [ 1 0 ] \begin

转自： https://blog.csdn.net/longxinchen_ml/article/details/51629328 1 基本概念和符号 线性代数可以对一组线性方程进行简洁地表示和运算。例如，对于这个方程组: 这里有两个方程和两个变量，如果你学过高中代数的话，你肯定知道，可以为x1 和x2找到一组唯一的解 (除非方程可以进一步简化，例如，如果第二个方程只是第一个方程的倍数形式。但是显然上面的例子不可简化，是有唯一解的)。在矩阵表达中，我们可以简洁的写作: 其中： 很快我们将会看到，咱们把方程表示成这种形式，在分析线性方程方面有很多优势(包括明显地节省空间)。 1.1 基本符号 以下是我们要使用符号: 符号 A ∈ R m×n 表示一个m行n列的矩阵，并且矩阵A中的所有元素都是实数。 符号x ∈ R n 表示一个含有n个元素的向量。通常，我们把n维向量看成是一个n行1列矩阵，即列向量。如果我们想表示一个行向量（1行 n 列矩阵），我们通常写作 x T ( x T 表示x的转置，后面会解释它的定义)。 一个向量x的第 i 个元素表示为x i ： 我们用 a ij (或 A ij ， A i ， j ，等) 表示第 i 行第 j 列的元素： 我们用 a j 或 A : ， j 表示A矩阵的第 j 列元素： 我们用 a T i 或 A i ， : 表示矩阵的第i行元素:

直观理解线性代数的本质 如何理解矩阵特征值以及特征向量？ 一篇很好的文章 A x = λ x Ax = \lambda x A x = λ x 可以把A看成是一个线性变换,那么这个定义可以看成对于向量x而言,在A的作用下保持方向不变(可能反向)，进行大小为 λ \lambda λ 的缩放。 特征向量所在的直线包含了所有特征向量. 矩阵乘以特征向量可以看成是矩阵在每个特征向量方向上的投影。通过求特征值和特征向量把矩阵数据投影在一个正交的空间,而且在各个方向的投影大小就是特征值。 最大特征值并不是说数据在所有方向的投影的最大值，而仅限于正交空间的某一方向。最大特征值的特征向量所对应的方向就是速度最大的方向。 其实是一种数据的处理方法，可以简化数据。 特征值特征向量的重要例子 ：数据挖掘中PCA(主成分分析)用于数据降维 详情点击 什么是相似矩阵?有什么用?  线性变换 例如: y ⃗ = A x ⃗ \vec{y} = A\vec{x} y ​ = A x （类似于一次函数 y = x） 线性变换通过指定基下的矩阵A来表示 同一个线性变换,不同基下的矩阵称为相似矩阵.（任意向量在不同的基中有不同的表示）

8-10点 线性代数+线性代数作业 10-12点 高数 2-3点 高数作业（上学期的一些知识点不太记得了做的慢） 4-5点 英语作文+记单词 6-6:30看多重背包和二进制拆分优化 7-9点java学习 学习笔记 心得：今天的学习内容很丰富，也学到了很多知识，网课学习感觉还是有些缺点，学习的内容多，还需要花点时间消化一下 来源： CSDN 作者： DpprZ 链接： https://blog.csdn.net/weixin_45823991/article/details/104640598

行列式是一个数字。 行列式能尽可能的把矩阵的信息表示出来。比如行列式为0矩阵不可逆。 交换行或者列行列式变符号，这意味着交换矩阵它的行列式是1或者-1.因为交换矩阵可以把其他矩阵的行列交换。 行或者列乘个t，那么整个行列式的值需要乘个t。 行列式每行都有可加性 A − 1 = 1 d e t A A ∗ A^{-1}=\frac 1 {det A} A^* A − 1 = d e t A 1 ​ A ∗ ,其中 A ∗ A^* A ∗ 是伴随矩阵（当前元素是即去掉当前行当前列的矩阵行列式值） 行列式值等于当前行的各元素与对应代数余子式的线性加权和。 克拉默法则(Cramer’s Rule)求Ax=b中的x就是利用伴随矩阵求 A − 1 A^{-1} A − 1 ,然后 x = A − 1 b x=A^{-1}b x = A − 1 b 行列式的绝对值是行向量那几条边构成的几何体的体积（如果是二维那就是面积）。 特征值 特征值之和等于对角线元素之和 求特征值 d e t ( A − λ I ) = 0 det(A-\lambda I)=0 d e t ( A − λ I ) = 0 越部队称的矩阵特征值越可能是复数 特征值不同特征向量一定不线性相关，但是特征值相同不一定特征向量线性相关。 根据特征值和特征向量构造对角矩阵 矩阵对角化，本质就是利用Ax=λx这个来构造对角矩阵