线性变换

线性代数的本质，源视频 https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E @ 目录 矩阵和线性变换 矩阵乘法与复合变换 Unfortunately, no one can be told what the Matrix is. You have to see it for your self. ------ Morpheus 矩阵是什么？ 矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。而行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。 在线性代数中，最容易被忽略但是非常重要的一点就是线性变换的概念以及它和矩阵的关系。 矩阵和线性变换 对于变换，变换其实就是函数的另外一种说法，它接受一个输入，然后输出对应的结果。 特别的，在线性代数下，我们考虑的是接受一个向量并且输出一个向量的变换。 为什么要用变换呢？ 因为 变换 是在暗示以特定的方式来可视化这 输入-输出 关系，一种理解向量的函数的方式是使用运动。 例如在二维空间中，我们将一个输入向量移动到输出向量的位置，要理解整个变换，我们可以想象每一个输入向量输出到对应输出向量的位置。 二维空间在这种变化时候，我们可以对无限网格上的所有点同时做变换，还可以保留原来坐标的网格，以便追踪起点和终点的位置。 那么什么是线性变换呢

本节我们总结一下数字图像的几何变换，区别于前面几种操作（白平衡，灰度变换，空间滤波）针对于像素强度，几何变换主要针对像素的位置。 对空间的操作主要包括仿射（线性）变换（平移，旋转，伸缩，剪切）和投影变换。每种变换方法的具体细节不展开阐述，就是把对像素（变量）的操作提取出来作为变换矩阵（其实也就是线性代数中的线性变换，推荐B站从空间几何的角度理解线性代数： https://b23.tv/BV1ys411472E/p1 ）。每个矩阵对应一种变换空间，如果进行多种叠加操作就是对应矩阵不断左乘，多个线性空间不断作用的结果。 仿射变换 平移，旋转，伸缩是严格的2D线性变换，是刚体变换（本身的形态不发生变换），剪切可以保证图中的平行线不变。2D线性变换中的变量有6个，也就是自由度DOF=6。 2D线性变换通项如下： 具体来说： （图中的旋转对应逆时针旋转） 投影变换 （投影变换中不保证平行线仍然平行）投影变换对应原来的线性变换再除以一个线性变换，投影变换矩阵中前两行对应线性变换中的参数，这样可以用该3 X 3的矩阵统一线性变换及投影变换，当最后一行为[0 0 1]时就是线性变换。 图像插值 由图像几何变换带来一个问题就是变换之后的像素值可能不是一个整数，而我们所使用的像素值一般是整数，所以需要近似来解决。插值的关键思想就是保证变换后的像素点和最近的邻居最相似，最远的邻居最不相似，考虑的邻居越多

第三讲 线性变换及其矩阵 一、线性变换及其运算 定义：设 V 是数域 K 上的线性空间， T 是 V 到自身的一个映射，使得对于 V 中的任意元素 x 均存在唯一的 y V 与之对应，则称 T 为 V 的一个 变换 或 算子 ，记为 Tx＝y 称 y 为 x 在变换 T 下的象， x 为 y 的原象。 若变化 T 还满足 T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty) x,y V, k,l K 称 T 为 线性变换 。 [例1] 二维实向量空间 ，将其绕原点旋转 角的操作就是一个线性变换。 [证明] 可见该操作 T 为变换，下面证明其为线性变换 ， k，l T 是线性变换。 [例2] 次数不超过 的全体实多项式 构成实数域上的一个 维的线性空间，其基可选为 ，微分算子 是 上的一个线性变换。 [证明] 显然 对 而言是变换， 要证明 满足线性变换的条件 ， k，l 是 上的线性变换。 2. 性质 线性变换把零元素仍变为零元素 负元素的象为原来元素的象的负元素 线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组 [证明] 线性变换 T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty) （1） T( 0 )=T(0x)=0(Tx)= 0 （2） T ( -x )=( -1 )( Tx )= - ( Tx ) （3）元素组 线性相关，即存在一组不全为零的数 使 则 线性相关。 [得证] 应该注意

直观理解线性代数的本质 如何理解矩阵特征值以及特征向量？ 一篇很好的文章 A x = λ x Ax = \lambda x A x = λ x 可以把A看成是一个线性变换,那么这个定义可以看成对于向量x而言,在A的作用下保持方向不变(可能反向)，进行大小为 λ \lambda λ 的缩放。 特征向量所在的直线包含了所有特征向量. 矩阵乘以特征向量可以看成是矩阵在每个特征向量方向上的投影。通过求特征值和特征向量把矩阵数据投影在一个正交的空间,而且在各个方向的投影大小就是特征值。 最大特征值并不是说数据在所有方向的投影的最大值，而仅限于正交空间的某一方向。最大特征值的特征向量所对应的方向就是速度最大的方向。 其实是一种数据的处理方法，可以简化数据。 特征值特征向量的重要例子 ：数据挖掘中PCA(主成分分析)用于数据降维 详情点击 什么是相似矩阵?有什么用?  线性变换 例如: y ⃗ = A x ⃗ \vec{y} = A\vec{x} y ​ = A x （类似于一次函数 y = x） 线性变换通过指定基下的矩阵A来表示 同一个线性变换,不同基下的矩阵称为相似矩阵.（任意向量在不同的基中有不同的表示）

第一部分:分段（线性变换）函数 摘自百度百科： 灰度拉伸又叫： 对比度 拉伸，它是最基本的一种 灰度 变换， 算法 ：使用的是最简单的分段 线性变换 函数，它的主要思想是提高图像处理时 灰度级 的 动态范围 。 它可以有选择的拉伸某段灰度区间以改善输出图像。如图，所示的变换函数的运算结果是将原图在a到b之间的灰度拉伸到c到d之间。如果一幅图像的灰度集中在较暗的区域而导致图像偏暗，可以用灰度拉伸功能来 拉伸 ( 斜率 >1)物体灰度区间以改善图像；同样如果 图像灰度 集中在较亮的区域而导致图像偏亮，也可以用灰度拉伸功能来 压缩 (斜率<1)物体灰度区间以改善 图像质量 。 原理：函数表达式 第二天睡饱了再看这个函数是如何构造的：选取了四个点（0,0） （x1,y1） (x2,y2) (255,255) 先计算斜率 然后再点斜式，（x1,y1） (x2,y2)自己设定 然后可以不断调整整个函数的图像。 分段函数的图像表达式： 代码： function out = MySegmentLinear(I,x1,x2,y1,y2) %功能：实现灰度图像的分段线性变换 %理论基础:http://pan.baidu.com/s/1dFoFuSD %输入参数I是uint8类型的灰度图像数据; I=im2double(I); [M,N] = size(I); out = zeros(M,N); for

参考：https://www.zhihu.com/question/21874816 如何理解矩阵特征值？ 想要理解特征值，首先要理解矩阵相似。什么是矩阵相似呢？从定义角度就是：存在可逆矩阵P满足B＝ 则我们说A和B是相似的。让我们来回顾一下之前得出的重要结论：对于同一个线性空间，可以用两组不同的基 和基 来描述，他们之间的过渡关系是这样的： ，而对应坐标之间的过渡关系是这样的： 。其中P是可逆矩阵，可逆的意义是我们能变换过去也要能变换回来，这一点很重要。 我们知道，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以用一个矩阵T1来描述这个线性变换。换一组基，就得到另一个不同的矩阵T2（之所以会不同，是因为选定了不同的基，也就是选定了不同的坐标系）。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。具体来说，有一个线性变换 ，我们选择基 来描述，对应矩阵是 ；同样的道理，我们选择基 来描述 ，，对应矩阵是 ；我们知道基 和基 是有联系的，那么他们之间的变换 和 有没有联系呢？ 当然有， 和 就是相似的关系，具体的请看下图： &amp;lt;img src="https://pic1.zhimg.com/6cf43eca0f26cb1752f8fbf2633b699c_b.jpg" data-rawwidth="721" data-rawheight="449" class

以灰度图像为例，假设原图像像素的灰度值为D = f(x,y), (x,y)为图像坐标，处理后图像像素的灰度值为D’ = g(x,y),则灰度变换函数可以表示为： g(x,y) = T[f(x,y)] 或 D = T[D] 要求D和D’都在图像的灰度范围之内。灰度变换函数描述了输入灰度值和输出灰度值之间的转换关系。一旦灰度转换关系确定，则图像中每一点的运算关系就被完全确定下来。 灰度图像主要针对独立的像素点进行处理，由输入像素点的灰度值来决定相应的输出像素点的灰度值，通过改变原始图像数据所占据的灰度范围而使图像在视觉上得到改观，由于灰度变换没有利用像素点之间的相互关系，因而这种处理方法也叫点运算。 灰度变换法又分为线性变换和非线性变换，是根据他们采用的算法来定义的。 典型的非线性变换有： 1.负相变换 负相变换也叫做反相变换，即对每一个像素值求反。对图像求反就是讲原图的灰度值反转，简单的说就是黑的变成白的，白的变成黑的。 对于灰度图像或彩色图像的每个通道，其算法为：g(x,y) = 255 - f(x,y) 2.二值化和阈值处理 二值化是分段线性的一个特例，一副图像包括目标、背景和噪声，怎样从多值的灰度图像中提取出目标？最常用的方法就是设定一个阈值θ，用θ将图像的数据分成两部分：大于θ的像素群和小于θ的像素群。例如，输入图像为f(x,y)，输出图像为f'(x,y),则f'(x,y)

文章摘自： http://blog.jobbole.com/88208/ 一、奇异值与特征值基础知识： 特征值分解和奇异值分解在机器学习领域都是属于满地可见的方法。两者有着很紧密的关系，我在接下来会谈到，特征值分解和奇异值分解的目的都是一样，就是提取出一个矩阵最重要的特征。先谈谈特征值分解吧： 1） 特征值： 如果说一个向量v是方阵A的特征向量，将一定可以表示成下面的形式： 这时候λ就被称为特征向量v对应的特征值，一个矩阵的一组特征向量是一组正交向量。特征值分解是将一个矩阵分解成下面的形式： 其中Q是这个矩阵A的特征向量组成的矩阵，Σ是一个对角阵，每一个对角线上的元素就是一个特征值。我这里引用了一些参考文献中的内容来说明一下。首先，要明确的是，一个矩阵其实就是一个线性变换，因为一个矩阵乘以一个向量后得到的向量，其实就相当于将这个向量进行了线性变换。比如说下面的一个矩阵： 它其实对应的线性变换是下面的形式： 因为这个矩阵M乘以一个向量(x,y)的结果是： 上面的矩阵是对称的，所以这个变换是一个对x，y轴的方向一个拉伸变换（每一个对角线上的元素将会对一个维度进行拉伸变换，当值>1时，是拉长，当值<1时时缩短），当矩阵不是对称的时候，假如说矩阵是下面的样子： 它所描述的变换是下面的样子： 这其实是在平面上对一个轴进行的拉伸变换（如蓝色的箭头所示），在图中，蓝色的箭头是一个最 主要的

矩阵论 - Part II 文章目录 矩阵论 - Part II 概念索引 4 矩阵空间 概念索引 4 向量空间, 最大线性无关组, 线性(子)空间, 线性空间的维数, 基和坐标, 同构映射, 同构空间, 基变换, 过度矩阵, 坐标变换, 线性变换, 线性变换的矩阵表示, 相似矩阵 , 欧式空间, 內积, 范数, Schwartz不等式, 夹角, 规范正交基, Schmidt正交化过程, 正交矩阵 4 矩阵空间 向量空间 向量空间: n n n 维向量的集合 V V V , 如果对加法和数乘运算封闭, 则集合 V V V 称为 向量空间 生成向量空间 子空间 空间维数 0空间 最大线性无关组 : 向量组 A A A 中有 r r r 个向量(设为向量组 A 0 A_0 A 0 ​ )线性无关, 任意 r + 1 r+1 r + 1 个向量线性相关, 则称 A 0 A_0 A 0 ​ 是一个 最大线性无关组 , r r r 称为向量组的 秩 , 只含有0向量的向量组没有最大无关组, 规定其秩为 0 0 0 矩阵的秩等于其列向量组的秩, 也等于其行向量组的秩 向量组 B B B 可以由向量组 A A A 线性表示, 则向量组 B B B 的秩不大于向量组 A A A 的秩 等价的向量组秩相等 设 C = A B C = AB C = A B , 则 { R ( C ) ≤ R ( A

变换目标 1、分段线性变换各种情况的变换效果对比 2、对数、指数变换、取反等多种非线性变换的效果对比 变换结果与分析 分段线性变换 1）变换函数 2）分段线性变换结果 3）分段线性变换对比分析 通过变换，将灰度值小于82的变小，将灰度值大于173的增大，处于82与173之间的被拉伸。 对数变换 1）变换函数 2）对数变换结果 3）对数变换分析 低灰度值区域被拉伸，高灰度值区域被缩小，常数c越大，图像灰度值越集中于255，常数c越接近0，图像灰度值越接近于0. 指数变换 1）变换函数 2）指数变换结果 3）指数变换分析： 当指数大于1，图像灰度值减小，当指数小于1大于0，回想灰度值增大。 取反变换 1）取反变换函数 2）取反变换结果 3）取反变换对比分析 增强了图像暗色区域中的白色或灰色细节，特别是黑色面积在尺寸上占主导地位的时候，效果逐渐明显。 代码 分段线性变换 % Write by 长安 Rjex % 分段线性变换各种情况的变换效果对比 % name为图像文件名， ( r1 , s1 ) , ( r2 , s2 ) 为变换点 function B = pielinear ( name , r1 , s1 , r2 , s2 ) I = imread ( name ) ; if r1 > r2 || s1 > s2 error ( message ( 'MATLAB