四元数

最近在做一个类似VR照片的demo，跟全景图片也很像，只是VR照片与全景720度显示，我只做了180度。但我发现他们实现的原理有一丝相似，希望可以给一些想入行AR、VR的朋友一些提示吧。 要想根据用户摇晃手机的行为轨迹展示相应的场景，那必须要使用移动端的陀螺仪、加速器等传感器来做相应的协调。现在的移动端已经提供了很多传感器，你可以根据自己的需要获取相应的数据。 刚开始的时候，我使用传感器提供的姿态角，也称为欧拉角：pitch yaw roll 来显示。这种 姿态角/欧拉角 比较常用在航空上，无人机技术应该也使用到了这个技术点。我用飞机的模型来展示一下这三个角，就一目了然了（不同作者使用不同的坐标系，使用哪种坐标系，个人而定。）： 图一 姿态角/欧拉角 在数学上理解起来会有点抽象，我也是稍理解一点。在维基百科上，欧拉角定义为：用来描述刚体在三维欧几里得空间的取向，对于任何参考系，一个刚体的取向，是依照顺序，从这参考系，做三个欧拉角的旋转而设定的。有兴趣了解得深入一点，可以参考(需翻墙)： https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E8%A7%92 我们也可以简单理解这三个角代表什么意思： 1、俯仰角θ（pitch）：围绕Y轴旋转的。 图二 2、偏航角ψ（yaw）：围绕Z轴旋转的角度。 图三 3、滚转角Φ（roll）

官方地址传送 Space transformations 常用 1.旋转矩阵（3X3）:Eigen::Matrix3d 2.旋转向量（3X1）:Eigen::AngleAxisd 3.四元数（4X1）:Eigen::Quaterniond 4.平移向量（3X1）:Eigen::Vector3d 5.变换矩阵（4X4）:Eigen::Isometry3d AngleAxis（angle, axis）：绕该轴逆时针旋转angle(rad)。 变换矩阵 Eigen::Isometry3d T; T.matrix()才是变换矩阵，做运算时需加.matrix()后缀; T.pretranslate()以及T.prerotate()可以给平移部分和旋转矩阵赋值，但是若循环中使用，末尾不重置变换矩阵的话，这个设置量会累加，而不是覆盖。 四元数赋值：Eigen::Quaterniond Q; Q.x() = 3 「类似地 Q.y() = Q.z() = Q.w()」 1、 旋转矩阵（R），旋转向量（V）和四元数（Q）在Eigen中转换关系的总结： 2、旋转矩阵（R），旋转向量（V）和四元数（Q）分别通过自身初始化自己的方式： R通过自身初始化的方法： 使用旋转矩阵的函数来初始化旋转矩阵 Matrix3d R1=Matrix3d::Identity(); cout << “Rotation

四元数（Quaternion）相关的介绍材料非常多，这里针对其中几个实用问题进行阐述。 文章目录 四元数初步 四元数运算 四元数与刚体姿态表示 四元数插值 四元数与黎曼流形 其它参考 四元数初步 相关介绍可参考 此文 。 相对于复数的二维空间表示，四元数可理解为一种四维空间表示。四元数是由一个实数和三个元素 i , j , k i,j,k i , j , k 组成： q = w + x i + y j + z k q = w + xi + yj + zk q = w + x i + y j + z k 三个元素之间有如下关系： i 2 = j 2 = k 2 = i j k = − 1 i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 i 2 = j 2 = k 2 = i j k = − 1 四元数乘法不具有交换律，例如： i j = k , j i = − k ; j k = i , k j = − i ; k i = j , i k = − j ij = k, ji = -k;\quad jk = i, kj = -i;\quad ki = j, ik = -j i j = k , j i = − k ; j k = i , k j = − i ; k i = j , i k = − j 四元数的共轭定义为： q − 1 = w − x i − y j − z k q^{

一，数学基础 1，向量乘法，点乘，叉乘的区别 初中高中课本上说的向量乘法，就是指叉乘，证明如下： 其中ixi = jxj = kxk = 0，注意，在四元数中 ixi = jxj = kxk = -1，为什么会这样没想明白，先留个问号吧 于是上面的结果就是 这与我们使用行列式法得出的结果相同。 2，复数的乘法表示旋转 3，qpq-1为什么表示旋转，证明 4，四元数的应用与原理 来源： https://www.cnblogs.com/timeObjserver/p/11956490.html

https://www.qiujiawei.com/understanding-quaternions/ 来源： https://www.cnblogs.com/my-trees/p/11809907.html

版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。 本文链接：https://blog.csdn.net/ecidevilin/article/details/77937109 何为四元数？讲解四元数的文章往往会把四元数跟复数联系在一起。诚然，四元数的起源跟复数有关系，但是理解复数系统并不是理解四元数的首要条件。 提到四元数，我们首先要提到一个人——莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler），根据欧拉旋转定理（wiki），在三维空间里，假设一个刚体在做一个位移的时候，刚体内部至少有一点固定不动，则此位移等价于一个绕着包含那固定点的固定轴的旋转。还有另外一种阐述：3D中的任意角位移都能表示为绕单一轴的单一旋转。如图所示： 所谓角位移也就是旋转，我们通常用欧拉角表示，这也是最容易理解的一种形式。 那么轴-角形式跟四元数有什么关系？它们并不等同，但是却也密不可分。 上图的四元数表示法： q=[cos(θ/2) sin(θ/2)e] 注意这里e是图中的向量，即 q=[cos(θ/2) sin(θ/2)ex sin(θ/2)ey sin(θ/2)ez] 那么接着我们就要讨论四元数跟复数的关系了，首先先把William Hamilton这个四元数的发明者提出来，免得大家觉得没意思跳过了这段。 首先，什么是复数？ 我们知道在实数范围里

其他参考： https://blog.csdn.net/candycat1992/article/details/41254799 http://www.cnblogs.com/yiyezhai/p/3176725.html 主要介绍了在计算机视觉中关于3D变换矩阵的数学方法。 旋转矩阵是一种3×3的正交矩阵， 这里R为3D的旋转矩阵，同样的，t为3D的平移矢量。 由于3D旋转都可以归结成按照某个单位向量n进行大小为θ的旋转。 所以，已知某个旋转时，可以推导出对应的旋转矩阵。该过程由罗德里格斯公式表明，由于过程比较复杂，我们在此不作赘述，只给出转换的结果：　 这里 公式虽然较为复杂，但实际写成程序后，只需知道旋转方向和角度后即可完成计算。另一件有趣的事是，如果用 表示与n对应的一个反对称矩阵，那么有： （李代数会对后面的指数形式做出解释） 根据此式，我们也可以从任意给定的旋转矩阵，求出对应的转轴与转角。关于转角θ，我们对上式两边求矩阵的迹，可得： 可得 关于转轴n，由于旋转轴上的向量在旋转后不发生改变，说明 因此，只要求此方程的解向量即可。这也说明n是R特征值为1的一个特征向量。 总之，读者应当明白在3D时，旋转和平移仍可用转移矩阵T来描述，其结构也与2D类似。而T4×4构成了三维欧氏变换群SE(3)。注意到T虽然有16个变量，但 真正的自由度只有6个，其中3个旋转，3个位移。

通常，使用RGB-D相机或是其他方法获取到物体的三维点云后，由于采集设备不同、拍摄视角不同等等因素的影响，即使是同一个物体所得到的点云也会有较大的差异，主要是旋转或者平移的变化。对于一组图像数据集中的两幅图像，需要通过寻找一种空间变换把一幅图像映射到另一幅图像，使得两图中对应于空间同一位置的点一一对应起来，从而达到信息融合的目的。所以，就需要对点云进行配准。 迭代最近点算法（ICP）是一种点云匹配算法。其思想是：通过旋转、平移使得两个点集之间的距离最小。ICP算法由Besl等人于1992年提出，文献可以参考： A Method for Registration of 3D Shapes ，另外还可以参考： Least-Squares Fitting of Two 3-D Point Sets 。前者使用的是四元数方法来求解旋转矩阵，而后者则是通过对协方差矩阵求解SVD来得到最终的旋转矩阵。流程大体上一致，后面就主要列出前者的流程。 ICP 我们可以使用四元数表示旋转关系： q R → = [ q 0 q 1 q 2 q 3 ] T q R → = [ q 0 q 1 q 2 q 3 ] T ，满足条件： q 0 ≥ 0 q 0 ≥ 0 、 q 2 0 + q 2 1 + q 2 2 + q 2 3 = 1 q 0 2 + q 1 2 + q 2 2 + q 3 2 = 1 。

继之前研究了一些飞行姿态理论方面的问题后，又找到了之前很流行的一段外国大神写的代码，来分析分析。 先贴上代码： #include "AHRS.h" //---------------------------------------------------------------------------------------------------- // Definitions #define Kp 2.0f #define Ki 0.005f #define halfT 0.5f //---------------------------------------------------------------------------------------------------- // Variable definitions float q0 = 1, q1 = 0, q2 = 0, q3 = 0; float exInt = 0, eyInt = 0, ezInt = 0; //---------------------------------------------------------------------------------------------------- // Function void AHRSupdate(float gx, float gy,

内容总结： 内容： 　　IMU原理与模型 　　后端优化与VIO BA 　　滑动窗口算法与FEJ 　　后端求解系统与代码 　　前端介绍 　　VIO初始化 　　VIO系统回顾 预备知识： 　　数学：线性代数、微积分、概率论 　　编程：Linux、C++、OpenCV 　　英语：文献阅读 　　专业知识：2D/3D 计算机视觉、图像处理 VIO 概述 VIO： 以视觉与IMU融合实现的里程计 　　IMU：惯性测量单元 　　　　组成：陀螺仪和加速度计，共6轴。 　　　　较高频率（>100Hz），易受自身温度、零偏、振动等因素干扰，积分得到的平移与旋转容易漂移。 　　视觉： 　　　　较低频率（15-60Hz居多），通过相机特整点进行匹配，推断相机运动。 2种传感器比较： 两种融合方案 紧耦合：直接将图像的特征匹配点与IMU定位，进行融合。典型方案为MSCKF和非线性优化。 松耦合：将IMU定位与视觉定位，直接进行融合。后处理方式输出。典型方案为卡尔曼滤波器。 紧耦合优势：视觉BA中含有IMU信息，整体层面最优。而且，可以对所有运动、测量信息进行建模，达到最优。 主要总结： IMU数据的状态信息，及噪声 对含有IMU测量信息和视觉特征点信息的非线性优化 随时间将如何变化 预备知识 三维刚体运动（2种）： 李代数与李群 四元数 两种导数（具体推导请自行查看《SLAM十四讲》）：