旋转矩阵、轴角、欧拉角、四元数的转换关系

其他参考：

https://blog.csdn.net/candycat1992/article/details/41254799

http://www.cnblogs.com/yiyezhai/p/3176725.html

主要介绍了在计算机视觉中关于3D变换矩阵的数学方法。

1. 旋转矩阵是一种3×3的正交矩阵，
   
   这里R为3D的旋转矩阵，同样的，t为3D的平移矢量。
   由于3D旋转都可以归结成按照某个单位向量n进行大小为θ的旋转。所以，已知某个旋转时，可以推导出对应的旋转矩阵。该过程由罗德里格斯公式表明，由于过程比较复杂，我们在此不作赘述，只给出转换的结果：　
   
   这里 公式虽然较为复杂，但实际写成程序后，只需知道旋转方向和角度后即可完成计算。另一件有趣的事是，如果用
   
   表示与n对应的一个反对称矩阵，那么有：
   （李代数会对后面的指数形式做出解释）
   根据此式，我们也可以从任意给定的旋转矩阵，求出对应的转轴与转角。关于转角θ，我们对上式两边求矩阵的迹，可得：
   
   可得
   关于转轴n，由于旋转轴上的向量在旋转后不发生改变，说明
   
   因此，只要求此方程的解向量即可。这也说明n是R特征值为1的一个特征向量。
   总之，读者应当明白在3D时，旋转和平移仍可用转移矩阵T来描述，其结构也与2D类似。而T4×4构成了三维欧氏变换群SE(3)。注意到T虽然有16个变量，但真正的自由度只有6个，其中3个旋转，3个位移。
   欧拉角是一种广为使用的姿态描述方式，以直观见长。在最常用的欧拉角表达方式中，我们把旋转分解成沿三个轴转动的量：滚转角－俯仰角－偏航角(roll-pitch-yaw)

2. 四元数
   相比欧拉角，四元数(Quaternion)则是一种紧凑、易于迭代、又不会出现奇异值的表示方法。它在程序中广为使用，例如ROS和几个著名的SLAM公开数据集、g2o等程序都使用四元数记录机器人的姿态。
   四元数仅是3D姿态的一种表达方式，我们用一个单位四元数表达原本用旋转矩阵表示的三维旋转。这样做一个直接的好处是省空间。一个旋转阵有9个分量，但只有三个自由度。那么，能不能用三个数来描述呢？可以是可以的，但不可避免会出现奇异的情况，欧拉角就是一个例子。而四元数，比三维向量多了一个分量，从而可以无奇异地表示各种姿态。
   四元数是Hamilton找到的一种扩展的复数。一个四元数拥有一个实部和三个虚部（故事上说他原先找了很久带两个虚部的，结果怎么也找不到，最后豁然开朗找到了三虚部的四元数）：
   
   其中i,j,k为四元数的三个虚部。这三个虚部满足关系式：
   
   由于它的这种特殊表示形式，有时人们也用一个标量和一个向量来表达四元数：
   
   这里，标量s称为四元数的实部，而向量v称为它的虚部。如果一个四元数虚部为0，称之为实四元数。反之，若它的实部为0，称之为虚四元数。该定义和复数是相似的。
   四元数可以表示三维空间中任意一个旋转。与旋转矩阵中类似，我们仍假设某个旋转是绕单位向量 进行了角度为θ的旋转，那么这个旋转的四元数形式为：
   
   事实上，这还是一个模长为1的四元数，称为单位四元数。反之，我们亦可通过任意一个长度为1的四元数，计算对应旋转轴与夹角：
   
   
   
   四元数和通常复数一样，可以进行一系列的运算。常见的有四则运算、内积、求逆、共轭、求指数／对数等等。表示姿态时，它还可以进行插值。
   3D空间也可以用单位四元数表示旋转。假设一个空间三维点v=[x,y,z]∈R3 ，以及一个由旋转轴和夹角n,θ指定的旋转，首先，我们把三维空间点用一个虚四元数来描述：
   
   然后，参照旋转角的四元数表示，用另一个四元数q表示这个旋转：
   
   那么，旋转后的点p′p′即可表示为这样的乘积：
   
   可以验证，计算结果的实部为，故计算结果为纯虚四元数。其虚部的三个分量表示旋转后3D点的坐标。
   由于任意单位四元数都可表示为一个3D旋转，即SO(3)中的元素，我们可以找到一个旋转矩阵与之对应。最简单的方式是由四元数q解出旋转角θ和旋转轴n，但那样要计算一个arccos函数，代价较大。实际上这个计算是可以通过一定的计算技巧绕过的。为省略篇幅，我们直接给出四元数到旋转矩阵的转换方式。
   设四元数q=q0+q1i+q2j+q3k，对应的旋转矩阵R为：
   
   反之，由旋转矩阵到四元数的转换如下。假设矩阵为R={mij},i,j∈[1,2,3]，其对应的四元数q由下式给出：
   

3. 其他几种变换
   1). 相似变换比欧氏变换多了一个自由度，7个自由度，它允许物体进行自由地缩放。
   
   　　注意到旋转部分多了一个缩放因子s，它在x,y,z三个坐标上形成均匀的缩放。类似的，相似变换的乘法也构成群，称为Sim(3)。由于含有缩放，相似变换不再保持图形的面积不变。
   2). 仿射变换的矩阵形式如下：
   
   　　与欧氏变换不同的是，仿射变换只要求A是一个可逆矩阵，而不必是正交矩阵。在仿射变换下，直线的夹角会发生改变，但平行性质不变。这即是说，仿射变换把平行四边形变为平行四边形。有12个自由度。平行行和体积比不变。
   3). 射影变换是最一般的变换，它的矩阵形式为:
   
   　　它左上角为可逆矩阵A，右上为平移t，左下缩放aT。由于采用齐坐标，当v≠0时，我们可以对整个矩阵除以v得到一个右下角为1的矩阵； 否则，则得到右下角为0的矩阵。因此，这个矩阵在2D中一共有8个自由度，而在3D中一共有15个自由度，是现在提到的变换中最为一般的。接触平面的相交和相切

文章来源: 旋转矩阵、轴角、欧拉角、四元数的转换关系