数论函数及其运算
数论函数是指定义域是正整数，值域是一个数集的函数。
加法，逐项相加，即；
数乘，这个数和每一项都相乘，即
狄利克雷卷积
定义两个数论函数的狄利克雷卷积
若，则，又或者写成。
卷积性质
- 交换律：\(f*g=g*f\)
- 结合律： \((f*g)*h=f*(g*h)\)
- 分配律：\((f+g)*h=f*h+g*h\)
- 单位元：,其中
- 逆 元： 对于每个\(f(1)\not=0\)的\(f\)，都存在一个\(g\)，使得\(f*g=\epsilon\)，\(g\)Ϊ\(f\)的逆。
定义不再重复。
常见的积性函数：
1.\(\phi(n)=n\prod_{i=1}^{k}{\frac{p_i-1}{p_i}}\)
2.,特别的记
3.
4.
积性函数性质
1.积性函数的狄利克雷卷积还是积性函数。
2.积性函数的逆还是积性函数。
由积性函数的性质可知，通过计算出它在质因子幂处的取值，就可以得到它本身的值。
例如：
另外，容易发现，由性质1可得。
运用上述知识，从卷积的角度来认识莫比乌斯反演。
首先重新认识一下，定义Ϊ的逆。
由于\(I\)是积性的，而\(\mu\)是\(I\)的逆，所以也是积性的。
利用，可以得出：
\[ \mu(p^k)=\cases{1\ \ \ \ \ k=0\\-1\ \ k=1\\0\ \ \ \ \ k>1} \]
再利用积性函数的性质1，可以得到上面写到的函数。
这个时候，我们顺便发现了一个与的关系：
\[ \phi=id*I^{-1}=id*\mu\\ \phi(n)=\sum_{d\mid n}d\cdot\mu(\frac{n}{d}) \]
进入正题。
如果数论函数\(f,g\)满足:
\[ f(n)=\sum_{d|n}g(n)\\ \]
那么，
\[ g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\cdot f(\frac{n}{d}) \]
证明：直接写成卷积形式即可。
同时存在另外一种形式的莫比乌斯反演：
\[ f(n)=\sum_{n|X}g(X)\\ g(n)=\sum_{n|X}\mu(\frac{X}{n})\cdot f(X) \]
证明：
定义新运算\((f\odot g)(n)=\sum_{n|X}f(\frac{X}{n})\cdot g(X)\)
下面先证明：
\[ (f\odot (g\odot h))(n)=\sum_{n|X}f(\frac{X}{n})\sum_{X|P}g(\frac{P}{X})h(P)\\ =\sum_{n|X}\sum_{X|P}f(\frac{X}{n})g(\frac{P}{X})h(P)\\ =\sum_{n|P}(f*g)(\frac{P}{n})h(P)\\ =((f*g)\odot h)(n) \]
所以就有
\[ g=(\mu*I)\odot g=\mu\odot(I\odot g)=\mu\odot f \]
应当注意的是：
\[ \sum_{n|X}\mu(\frac{X}{n})\cdot f(X)\not=\sum_{n|X}\mu(X)\cdot f(\frac{X}{n}) \]
来源：博客园
作者：薄荷凉了夏
链接：https://www.cnblogs.com/Bhllx/p/11566044.html