数列极限

0x00 数列的极限定义 设 { } 是一个数列，如果存在常数a,对于任意给定的 正数 ε（无论ε有多小），总存在正整数N，当n>N时不等式| -a|<ε,都成立。那么常数a是该数列的 极限 ，或者称{ }收敛于a。记做： ,或者 →a(n→∞) 否则称数列{ }是 发散 的。 注释：无穷数列{ }，给定任意一个较小的正数ε（距离）从某一项开始，后面的项与a的距离总是小于给定的较小距离，就称常数a是数列{ }的极限。 例如： {3n+5}是发散的；{1/n} 的极限是0；{5+3/n}的极限是5；{0.99^n}的极限是0； 证明：{5+3/n}的极限是5 给定一个狠小的距离ε=0.0001，当n>30000,该数列的每一项与5的距离都小于ε。 给定任意一个很小的距离ε，当n>3/ε时，数列的每一项与5的距离都小于ε，所以{5+3/n}的极限是5 0x01 收敛数列的性质 极限唯一性 ：如果数列收敛，那么它的极限只有一个。 说明：假设数列极限不唯一，假设{ }的极限是3和5，从100项后数列与3的距离小于0.01，那么它与5的距离肯定不能小于0.01。 收敛数列有界性 ：如果数列收敛，那么数列一定有界。 说明：设数列{ }收敛于a，从第N项起，每一项都与a的距离小于0.01。从第N项起，每一项都在a-0.01< <a+0.01,且 ≠a（a 的去心0.01邻域内）

预备知识 　　 领域 ：是一种常用的集合，设 \(a,\delta \in \R,\delta > 0\) ，则定义点 \(a\) 的 \(\delta\) 领域，记作 \(U(a,\delta)\) ，为 \((a-\delta,a+\delta)\) 。点 \(a\) 称作 领域的中心 ， \(\delta\) 称为 领域的半径 。 　　 去心领域 ：如果把领域的中心去掉，所得到的集合即为点 \(a\) 的 \(去心\delta\) 领域，记作 \(\mathring U(a,\delta)\) 。即 \((a-\delta,a+\delta)\setminus\{a\}\) 。 　　 反函数 ：设一元函数 \(f:D\rightarrow f(D)\) 为 一一映射 ，则称逆映射 \(f^{-1}:f(D)\rightarrow D\) 为函数 \(f\) 的反函数，即对于每个 \(y\in f(D)\) ，如果 \(y=f(x)\) ，则规定 \(x=f^{-1}(y)\) 。 　　 复合函数 ：是一种特殊的复合映射。设两个函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) ，定义域分别为 \(D_1\) 、 \(D_2\) 且满足 \(g(D_2)\subset D_1\) ，则定义的函数 \(h(x)=f(g(x))\) 称为由函数 \(u=g(x)\) 和函数 \(y=f

第一章 函数 1、实数 ​ 众所周知，数的概念充满了我们的生活空间。整数、分数和零统称为有理数。无理数在初等数学中已遇见过。如 \(\sqrt2\) 、 \(\sqrt3\) 、 \(π\) 、 \(lg5\) 等等。 ​ 一切有理数和无理数统称为实数。实数与数轴身上的点一一对应，而且充满数轴并没有空隙。由此可知，数轴上的每一个点的坐标标识某一个实数；反之，每一个实数必是数轴上某一点的坐标。 2、区间 ​ 在某些问题的讨论中，我们往往限制在一部分实数范围内考虑，为了简明地表明部分实数，这里引进区间概念。 定义：区间是介于某两个实数之间的全体实数，并称这两个实数为区间的断点。 ​ 区间又分为有限区间和无限区间两大类。 1、有限区间 （1）、开区间 ​ 设a、b为两个实数，且 \(a < b\) ,满足不等式 \(a < x < b\) 的一切实数x的全体叫做开区间，记做 \((a,b)\) . （2）、闭区间 ​ 设a、b为两个实数，且 \(a < b\) ,满足不等式 \(a ≤ x ≤ b\) 的一切实数的全体叫做闭区间，记做 \([ a,b ]\) . （3）、半开区间 ​ 设a、b为两个实数，且 \(a < b\) ，满足不等式 \(a < x ≤ b\) 或 \(a ≤ x < b\) 的一切实数x的全体叫做半开区间，分别记做 \(( a,b ]\) 和 \([ a,b)\

第一节 映射与函数 映射 映射：两个非空集合X、Y，如果存在法则f使得X中的每个元素x在Y中都有唯一一个确定的元素y，则称法则f是从X到Y的映射 像：y称为x的像 原像：x称为y的原像 定义域：X集合称为定义域 值域：Y集合称为值域 构成一个映射必须具备的三个要素：定义域、值域、法则f 满射：Y中的任意一个元素y都是X中的某个元素的像 单射：对于X中任意两个元素x1不等于x2，则有f(x1)不等于f(x2) 一一映射：既是单射也是满射 逆映射：首先映射f必须是单映射，y=f(x)必定存在x=g(y)，法则g是法则f的逆映射 复合映射：多个映射复合，例如y=f(g(x))，g(x)的值域必须包含于f(x)的定义域 函数 函数：设数集D包含与R，则称映射f：D->R是定义在D上的函数，记为y=f(x)，x是自变量，y是因变量，D是定义域，y的取值范围是值域 函数可分为连续函数与分段函数 函数的几种特性： 函数的有界性：在定义域D中如果任意x都使得f(x)<=K,则函数有上界，K是函数的一个上界，如果任意x使得f(x) <= N，则函数有下届，N是函数的一个下届 函数的单调性：在定义域的一个区间中，单调递增或单调递减 函数的奇偶性：f(-x) = f(x)为偶函数，f(-x) = -f(x) 为奇函数 函数的周期性：在函数定义域D中，如果存在 l 使得 f(x+l) = f(x)

高等数学笔记 第一章 第一节 极限 1.什么是极限 我们先举一个例子简单的了解一下极限是什么 例： a n = n n + 1 ， 当 n = 1 ， 2 ， 3 … 时 ， a 1 ， a 2 ， a 3 = 1 2 ， 2 3 ， 3 4 … , 求 1 是 数 列 a n = n n + 1 的 极 限 。 a n = n n + 1 ， 当 n = 1 ， 2 ， 3 … 时 ， a 1 ， a 2 ， a 3 = 1 2 ， 2 3 ， 3 4 … , 求 1 是 数 列 a n = n n + 1 的 极 限 。 //--> 解： 取 ∀ ε > 0 , 设 | a n − 1 | = 1 n + 1 < ε 。 ∃ N = ⌊ 1 ε ⌋ − 1 ， 当 n > N 时 ， | a n − 1 | = 1 n + 1 < ε , 取 ∀ ε > 0 , 设 | a n − 1 | = 1 n + 1 < ε 。 ∃ N = ⌊ 1 ε ⌋ − 1 ， 当 n > N 时 ， | a n − 1 | = 1 n + 1 < ε , //--> ∴ lim n → + ∞ a n = 1 ∴ lim n → + ∞ a n = 1 //--> 首先我们简单的观察一下 { a n } { a n } //--> 的规律， a n = n n + 1 a n = n n +

2020张宇1000题·数一·刷题记录 第一篇 高等数学 第1章 极限、连续 三、数列极限(1.64-1.91) 换元，拆分，等价替换。 分母无理化，化简代值。 分母无理化，e的重要极限。 ？？？拉格朗日中值定理。 两次比较，用夹逼定理卡值，最快。笨一点的方法，改写，然后求导化简估值。 要分x=0与不等于0两种情况，同乘sinx/2^n。 换元后，硬求导求两次。或者同1.67，用拉格朗日中值定理，函数差值转化为导数与差的乘积。 提取、化简、往e^x-1靠，再两次等价替换。 极限的保号性？？？ 有待细查 。排除其他可举反例。 xₙ>0，所以数列xₙ有下界，是因为0肯定是xₙ的下界？？？  若单调数列a_n有界，则极限存在，记 \(\lim \limits_{n \to \infty} a_n=A\) ，则 \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{1+a_n^2}=\dfrac{1}{1+A^2}\) ，存在；若单调数列a_n无界，则极限不存在， \(\lim \limits_{n \to \infty} a_n=+ \infty或-\infty\) ，此时有 \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{1+a_n

一.数列极限概念，性质与定理（一切归于定义） 　　　　数列极限定义： 　　　　数列极限瘦脸的充要条件：1原数列收敛子数列收敛 2子数列收敛原数列不一定收敛 3原数列的多个子数列收敛于不同的数值则原数列不收敛 　　　　收敛数列的性质：唯一性 （证明比小的小 比大的大） 　　　　　　　　　　　　有界性 保号性 （不等式+定义 比小的小 比大的大） 　　　　极限运算的规则： 加减乘除 　　　　数列极限存在准则：夹逼 单调有界 二.函数极限的概念，性质与定理（一切归于概念） 　　　　函数极限的定义： 　　　　函数的单侧极限： 　　　　函数极限存在的充要条件： 　　　　函数极限的性质： 唯一 局部保号 局部有界 　　　　无穷大与无穷小：定义 无穷小比阶 　　　　极限运算规则： 　　　　无穷小运算规则： 　　　　常用哪个等价无穷小： 　　　　夹逼准则 洛必达 海涅定理 　　　　连续 与 间断点 来源： https://www.cnblogs.com/qj696/p/11401128.html