高等数学笔记 第一章 第一节 极限

偶尔善良 提交于 2019-12-08 17:04:48

高等数学笔记

第一章 第一节 极限

1.什么是极限

我们先举一个例子简单的了解一下极限是什么

例:an=nn+1n=123a1a2a3=122334,1an=nn+1
解:ε>0,|an1|=1n+1<εN=1ε1n>N|an1|=1n+1<ε,
limn+an=1

首先我们简单的观察一下{an}的规律,an=nn+1随着n的取值不断的增大会越来越趋于1,这是可以先判断出来的。我们先假设一个数ε,可以是任何一个数,这里我强调的是一个任意性。|an1|表示的是an与1之间的距离,我们先假设这个距离是小于ε,也就小于任何一个数字。然后我们再取一个数字N,设N=1ε1,这个数字是肯定存在的,因为之前这就是我通过假设推出来的:(1n+1<εn>1ε1)。也就是说只要我的n>N了,就是 n>1ε1,就是|an1|=1n+1<ε。应为ε是任何一个数,也就是说an与1之间的距离可以无限的接近,也就是说limn+an=1

数列的极限可以说是一个数列的终极目标,这个数列的极限对于数列来说可以取到也可以取不到,只要是无限的接近就可以了。

现在我们给出精确的关于数列的定义:

{an}ε>0N>0,n>N|anA|<ε,A{an}limn+an=A
anA(n+)

现在再来几个例题加深一下理解吧:

例1:
limn+n2n+1=12
ε>0|n2n+112|=12(2n+1)<ε
N=[12(12ε1)]n>N|n2n+112|<ε
limn+n2n+1=12

例2:
limn+2n212n2+1=1
ε>0|2n212n2+11|=22n2+11n2<ε
(1.便\放ε\2.1n2<εn>1ε)
N=1ε)n>N|2n212n2+11|<ε
limn+2n212n2+1=1

现在我们再看看下面的定义是否是正确的:

\left { {a_{n}}^{}\right },若{\forall}\varepsilon >0,\exists N>0,当n{\geqslant}N时,|{a_{n}}-A|<2\varepsilon, 那么A是数列的极限吗?\    答:是的。因为2\varepsilon也是任意的小,是可以作为无限接近的标准的。\这只是换了一个说法摆了,其实本质上是一样的。

2.极限的性质

1. 唯一性

limnan=A,limnan=B,A=B

证:(反证法)$设A{\neq}B,且A>B,取\varepsilon=\frac{A-B}{2}\
\because{lim_{n\to\infty}{a_{n}=A}}\quad\therefore{\exists}{N_1}>0,\
当n>N_1时,\|a_n-A|<\frac{A-B}{2}\Leftrightarrow\frac{A+B}{2}

2. 有界性

limnan=A,M>0,使|an|M

通俗的说,一个数列如果有极限则一定有界。但是反之不对,比如说an=1+1n
证:ε=1,limnan=AN>0\当n>N|anA|<ε=1 (||a||b|||a±b|||a|+|b||\(||a||b|||a±b||a|+|b|, ) ||an||A|||anA|<1|an||A|<1|an|<1+|A| M=max|a1|,|a2|,|a3||an|,1+|A| n,|an|M

3. 保号性

limnan=A>0(<0),N>0,n>Nan>0(<0)

证:A>0,ε=A2>0 limnan=AN>0,n>N|anA|<A2 an>A2>0
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