数列的极限

白昼怎懂夜的黑 提交于 2020-02-25 01:31:47

0x00 数列的极限定义

设 { 

 } 是一个数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数ε(无论ε有多小),总存在正整数N,当n>N时不等式|

 -a|<ε,都成立。那么常数a是该数列的极限,或者称{ 

 }收敛于a。记做:

 ,或者 

 →a(n→∞)

否则称数列{ 

 }是发散的。

注释:无穷数列{ 

 },给定任意一个较小的正数ε(距离)从某一项开始,后面的项与a的距离总是小于给定的较小距离,就称常数a是数列{ 

 }的极限。

例如:

{3n+5}是发散的;{1/n} 的极限是0;{5+3/n}的极限是5;{0.99^n}的极限是0;

证明:{5+3/n}的极限是5

给定一个狠小的距离ε=0.0001,当n>30000,该数列的每一项与5的距离都小于ε。

给定任意一个很小的距离ε,当n>3/ε时,数列的每一项与5的距离都小于ε,所以{5+3/n}的极限是5

 

0x01 收敛数列的性质

极限唯一性:如果数列收敛,那么它的极限只有一个。

说明:假设数列极限不唯一,假设{ 

 }的极限是3和5,从100项后数列与3的距离小于0.01,那么它与5的距离肯定不能小于0.01。

 

收敛数列有界性:如果数列收敛,那么数列一定有界。

说明:设数列{ 

 }收敛于a,从第N项起,每一项都与a的距离小于0.01。从第N项起,每一项都在a-0.01<

 <a+0.01,且

 ≠a(a

的去心0.01邻域内),第N项以前的每一项都是确定,所以收敛数列一定有界。

 

收敛数列保号性:如果数列收敛于a(a≠0),那么总存在N,从第N项开始,都有

 >0(或者都有

 <0)

假设a>0,数列越来越接近于a,必然从某一项起,每一项都大于0。例如a=1,假设从第N项起,每一项距离1都小于0.9。每一项都在(1-0.9,1+0.9)内,每一项都大于0。假设a=0.001,假设从N项起,每一项与0.001的距离都小于0.0009。那么自第N项后,每一项都在(0.001-0.0009,0.001+0.0009)内,都大于0。a<0情况类似。如果数列收敛于0,不一定拥有保护性,例如:

 

收敛数列子数列同收敛性:如果数列收敛于a,那么它是子数列也收敛于a。

{10,1,0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001...}收敛于0,它的子数列{10,0.1,0.001,0.00001,0.0000001...}显然收敛于0。

 

0x02 扯淡

受病毒影响,春节后到2020年2月23日在家办公。在家工作繁忙且认真,没有怠工,因此没有空闲时间复习高数。这期间发生很多事情,看到了光明的一面:众多医护人员奋不顾身,牺牲在抗疫前线的;捐献物资的爱心人士;奋力研发药物的科学家;积极配合防疫工作的人民群众及工作单位。同时也看到了阴暗的一面:被谣言的李文亮;某些丧心病狂的感染者;某红十字会;某些没用作为的正腐人员;某些屏蔽真实消息的媒体;各种哄抬物价的奸商;转嫁风险的某些企业某些领导...似乎阴暗更多一些。作为一个普通人,没有能力改变什么。2020年,愿病毒早日被战胜;光明不再被黑暗吞噬;愿世界和我国变得美好;愿正义不再迟到。

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