实数

在 数学 中， 连 分数 或 繁分数 即如下表达式： 这里的 a 0 是某个 整数 而所有其他的数 a n 都是正整数。可依样定义出更长的表达式。如果 部分分子 （partial numerator）和 部分分母 （partial denominator）允许假定任意的值，在某些上下文中可以包含 函数 ，则最终的表达式是 广义连分数 。在需要把上述标准形式与广义连分数相区别的时候，可称它为 简单 或 正规连分数 ，或称为是 规范形式 的。 连分数常用于无理数的逼近，例如： 由此得到 的 渐近分数 、 、 、 、…… 考虑实数 r 。设 i 是 r 的整数部分，而 f 是它的小数部分。则 r 的连分数表示是 [ i ; …]，这里的“…”是 1/ f 的连分数表示。习惯上用分号取代 第一个 逗号。 要计算实数 r 的连分数表示，写下 r 的整数部分（技术上 floor ）。从 r 减去这个整数部分。如果差为 0 则停止；否则找到这个差的倒数并重复。这个过程将终止，当且仅当 r 是有理数。 找出 3.245 的连分数 STOP 3.245 的连分数是 [3; 4, 12, 4] 数 3.245 还可以表示为连分数展开 [3; 4, 12, 3, 1]；参见下面的有限连分数。 这个算法适合于实数，但如果用浮点数实现的话，可能导致数值灾难。作为替代，任何浮点数是一个精确的有理数

实数的输出和占位 Time Limit: 1000 ms Memory Limit: 65536 KiB Problem Description 输入一个实数，请你按如下要求输出： 第一行按双精度默认输出， 第二行双精度数输出共占 10 位，其中 3 位小数，右对齐，左补空格并在两端添加星号包裹， 第三行双精度数输出共占 10 位，其中 3 位小数，左对齐，右补空格并在两端添加星号包裹。 Input 一个double范围内的正实数 a 。 Output 共三行，按题目描述输出。 Sample Input 123.56789 Sample Output 123.567890 * 123.568* *123.568 * 代码 # include <stdio.h> int main ( ) { double a ; scanf ( "%lf" , & a ) ; printf ( "%lf\n" , a ) ; printf ( "*%10.3lf*\n" , a ) ; printf ( "*%-10.3lf*\n" , a ) ; return 0 ; } 来源： CSDN 作者： qq_44939000 链接： https://blog.csdn.net/qq_44939000/article/details/103464388

　　　FFT是将时域信号转换为频域信号，它是对一组数值进行运算，数组长度是2的整数次幂（64，128，256）， 数值可以是实数也可以是复数，通常我们的时域信号都是实数，因此下面都以实数为例。我们可以把这一组实数想像成对某个连续信号按照一定取样周期进行取样而得来，如果对这组N个实数值进行FFT变换，将得到一个有N个复数的数组，我们称此复数数组为频域信号，此复数数组符合如下规律： 下标为0和N/2的两个复数的虚数部分为0， 下标为i和N-i的两个复数共轭，也就是其虚数部分数值相同、符号相反。 　　下面的例子演示了这一个规律，先以rand随机产生有8个元素的实数数组x，然后用fft对其运算之后，观察其结果为8个复数，并且满足上面两个条件： import numpy as np from numpy import * #随机产生8个数 x = np . random ( 8 ) #对这8个数进行傅里叶变换 xf = np . fft . fft ( x ) # (3.988037788578344+0.0j) # (-0.4137886303518952+0.4932605470110098j) # (1.2456400001700039+0.14530526335520622j) # (0.35597667913863856+0.3148093703101355j) # (0

一个定义在有理数集上的实数函数 f，对一切有理数x和y，都有 f（x+y）= f（x）+ f（y）。 证明：对有理数x有 f（x）= kx，其中k为实数。 ------------------------------------------------------------------------------- 令n为大于0的正整数，则 f（nx）= f（n-1 x）+f（x） f（n-1 x）= f（n-2 x）+f（x） ············ f（2x）= f（x）+f（x） ∴ f（nx）= n f（x） 这意味着，对任意一个x，将自变量区域0-x分为n（n为正整数）份并命名为x1、x2···xn，所有这些点对应的y在一条直线上并且过原点。 假设 对所有的有理数x都满足 f（x）= kx 不成立，即至少存在两点，这两点的连线不过原点，设这两点中较小的点为xa，较大的为xb，xa<xb， 由于xa xb都是有理数，所以xa/xb 是一个真分数，设xa/xb的分母为m，分子为n，将自变量0-xb分为m份，并命名为x1、x2···xm，所有这些点对应的y在一条直线上并且过原点。由于xn就是xa，所以xa对应的点与xb对应的点连线也过原点，与已知矛盾，所以假设不成立，所以对所有的有理数x有 f（x）= kx 成立，证毕。 来源： https://www.cnblogs.com

集合的定义 集合 是数学中一个基本概念，它是集合论的研究对象，一般用大写字母表示，集合论的基本理论直到19世纪才被创立。最简单的说法，即是在最原始的集合论——朴素集合论中的定义，集合就是“确定的一堆东西”。 集合里的“东西”，叫作元素 ，一般用小写字母表示。 由一个或多个确定的元素所构成的整体叫做集合 。若x是集合A的元素，则记作x∈A（读作：x属于A ）；若x不是集合A的元素，则记作x∉A（读作：x不属于A ）. 集合元素的特征 集合中的元素有三个特征： 确定性（集合中的元素 必须是确定的 ）; 互异性（ 集合中的元素互不相同 ）。例如：集合A={1，a}，则a不能等于1 ; 无序性（集合中的 元素没有先后之分 ），如集合{3,4,5}和{3,5,4}算作同一个集合. 表示集合的方法 1、列举法：将集合中的元素 全部列举出来 ，例 A={1,2,3,4}; 2、描述法，其形式为 {代表元素|满足的性质} ，例 A={x|0<x<1} 表示该集合的元素为大于0、小于1的实数; 3、图像法：用封闭曲线的内部表示集合，称为 Venn图 ; 例：集合 A 用 Venn图可表示为 4、符号法： N：非负整数集合或自然数集合{0,1,2,3,…}; N*或N+：正整数集合{1,2,3,…}; Z：整数集合{…,-1,0,1,…}; Q：有理数集合; Q+：正有理数集合; Q-：负有理数集合;

FFT：快速傅里叶变换 将时域信号转换为频域信号 　　　FFT是将时域信号转换为频域信号，它是对一组数值进行运算，数组长度是2的整数次幂（64，128，256）， 数值可以是实数也可以是复数，通常我们的时域信号都是实数，因此下面都以实数为例。我们可以把这一组实数想像成对某个连续信号按照一定取样周期进行取样而得来，如果对这组N个实数值进行FFT变换，将得到一个有N个复数的数组，我们称此复数数组为频域信号，此复数数组符合如下规律： 下标为0和N/2的两个复数的虚数部分为0， 下标为i和N-i的两个复数共轭，也就是其虚数部分数值相同、符号相反。 　　下面的例子演示了这一个规律，先以rand随机产生有8个元素的实数数组x，然后用fft对其运算之后，观察其结果为8个复数，并且满足上面两个条件： import numpy as np from numpy import * #随机产生8个数 x = np.random(8) #对这8个数进行傅里叶变换 xf = np.fft.fft(x) # (3.988037788578344+0.0j) # (-0.4137886303518952+0.4932605470110098j) # (1.2456400001700039+0.14530526335520622j) # (0.35597667913863856+0

已知$x,y,z$为非负实数,满足$(x+\dfrac{1}{2})^2+(y+1)^2+(z+\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{27}{4}$, 则$x+y+z$的最小值为______ 分析:由题意$x^2+y^2+z^2+x+2y+3z=\dfrac{13}{4}$ 故$\dfrac{13}{4}\le (x+y+z)^2+3(x+y+z)$得$x+y+z\ge\dfrac{\sqrt{22}-3}{2}$ 当$x=0,y=0,z=\dfrac{\sqrt{22}-3}{2}$时等号取到 注:最大值用柯西易得. 练习：已知非负实数$a,b,c$满足$a+b+c=1$求$a^3+2b^2+\dfrac{10}{3}c$的最大值和最小值. 提示:$a^3+2b^2+\dfrac{10}{3}c\le \dfrac{10}{3}(a+b+c)=\dfrac{10}{3}$ 当$(a,b,c)=(0,0,1)$时取到最大值$\dfrac{10}{3}$ 最小值提示:$a^3+2b^2+\dfrac{10}{3}c\ge\dfrac{4}{3}(a+b+c)+2c-\dfrac{22}{27}\ge\dfrac{14}{27}$ 当$(a,b,c)=(\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{3},0)$时取到. 来源： https://www.cnblogs.com

转载自： 机器学习(2) 变分推断 变分 对于普通的函数f(x)，我们可以认为f是一个关于x的一个 实数算子 ，其作用是将实数x映射到实数f(x)。那么类比这种模式，假设存在函数算子F，它是关于f(x)的函数算子，可以将f(x)映射成实数F(f(x)) 。对于f(x)我们是通过改变x来求出f(x)的极值，而在变分中这个x会被替换成一个函数y(x)，我们通过改变x来改变y(x),最后使得F(y(x))求得极值。 变分推断 \[\begin{align}\log P(x) &= \log P(x,z) - \log P(z|x) \\ &=\log\frac{P(x,z)}{q(z)} - \log\frac{P(z|x)}{q(z)} \\ &=\log P(x,z) - \log q(z) - \log\frac {P(z|x)}{q(z)} \\ &=\log P(x,z) - \log q(z) + \log\frac {q(z)}{P(z|x)}\end{align}\] 现在等式两边同时对q(z)做期望，即， \[\begin{align} \int q(z)\log P(x)dz&=\int q(z)\log P(x,z)dz - \int q(z)\log q(z)dz + \int q(z)\log\frac{q(z)}{P(z|x)}dz\end{align}\]

设R+为所有正实数组成的数集，其加法及数乘运算定义为（奇怪的加法与数乘） a⊕b=ab, a,b∈R+ k•a=ak, k∈R, a∈R+ 证明R+是R上的线性空间 证明： 实际上验证10条 对加法封闭 ：设a,b∈R+，则a⊕b=ab∈R+ a、b都是正实数，那么ab乘积也是正实数是显然的。 对数乘封闭 ：设k∈R ，k•a=ak∈R+ 正实数a的指数次方肯定是正实数 1.a⊕b=ab=ba= b⊕a 加法交换律 2. （a⊕b）⊕c=(ab) ⊕c=(ab)c=a(bc)=a⊕(b⊕c) 加法结合律 3. a⊕b=a•1=a,故1是0元素 4. a⊕1/a=a•1/a=1,故 1/a是负元素 5.k•(a⊕b)= k•(ab)=(ab)k= akbk= (k•a)⊕(k•b) 数因子分配律 6.(λ+μ) •a=aλ+μ= aλ⊕aμ=(λ•a)⊕(μ•b) 分配律 7. λ•(μ•a)= λ•aμ= (aμ)λ=aλμ=(λμ) •a 数因子结合律 8.1•a=a*1=a 来源： CSDN 作者： l93919861 链接： https://blog.csdn.net/l93919861/article/details/103236011