离散数学基础——(2)集合

匆匆过客 提交于 2019-12-01 05:33:48

集合的定义

       集合是数学中一个基本概念,它是集合论的研究对象,一般用大写字母表示,集合论的基本理论直到19世纪才被创立。最简单的说法,即是在最原始的集合论——朴素集合论中的定义,集合就是“确定的一堆东西”。集合里的“东西”,叫作元素,一般用小写字母表示。

      由一个或多个确定的元素所构成的整体叫做集合。若x是集合A的元素,则记作x∈A(读作:x属于A );若x不是集合A的元素,则记作x∉A(读作:x不属于A ).

集合元素的特征

集合中的元素有三个特征:

  1. 确定性(集合中的元素必须是确定的);
  2. 互异性(集合中的元素互不相同)。例如:集合A={1,a},则a不能等于1 ;
  3. 无序性(集合中的元素没有先后之分),如集合{3,4,5}和{3,5,4}算作同一个集合.

表示集合的方法

1、列举法:将集合中的元素全部列举出来,例 A={1,2,3,4};

2、描述法,其形式为{代表元素|满足的性质},例 A={x|0<x<1} 表示该集合的元素为大于0、小于1的实数;

3、图像法:用封闭曲线的内部表示集合,称为Venn图;

例:集合 A 用 Venn图可表示为


4、符号法:

N:非负整数集合或自然数集合{0,1,2,3,…};

N*或N+:正整数集合{1,2,3,…};

Z:整数集合{…,-1,0,1,…};

Q:有理数集合;

Q+:正有理数集合;

Q-:负有理数集合;

R:实数集合;

R+:正实数集合;

R-:负实数集合;

C:复数集合;

∅ :空集(不含有任何元素的集合).

5、区间:

       设a,b(a<b)是两个相异的实数。

满足不等式a<x<b的所有实数x的集合称为以a,b为端点的开区间,记为

.

满足不等式 a≤x≤b 的所有实数的集合称为以a,b为端点的闭区间,记为

.

满足不等式 a<x≤b 或 a≤x<b 的所有实数x的集合称为以a,b为端点的半开半闭区间,分别记为

 , .


集合的关系

        设ST是两个集合,如果 集合的所有元素都属于 集合则称ST子集,记为 S⊆T 显然,对任何集合S ,都有 S⊆S ,即任何一个集合都是它本身的子集(符号 '⊆' ,读作包含于,表示该符号左边的集合中的元素全部是该符号右边集合的元素)

        如果 集合S 中的任何一个元素都是 集合T 中的元素,且 集合T 中的任何一个元素都是 集合S 中的元素,则我们说集合S与集合T相等记作

S=T.

        如果 是 的一个子集,即 S⊆T ,但在T中存在一个元素 x 不属于 S 称 是 的一个真子集,记作 

S⫋T(或 S⊂T).

        当集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含于集合 A 时,记作

A⊈B(或 B⊉A).

        根据子集和空集的定义,我们可以得到:空集是任何集合的子集,对于任何一个集合S,都有

⊆S.

集合的基本运算

交集与并集

交集

       由属于 A 属于 B 的相同元素组成的集合,叫做 A 与 B 的交集记作A∩B(或B∩A),读作“A交B”(或“B交A”),即

A∩B={x|x∈A,且x∈B}.


并集

       由所有属于集合 A 属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A 与 B 的并集,记作A∪B(或B∪A),读作“A并B”(或“B并A”),即

A∪B={x|x∈A,或x∈B}.


根据交集与并集的定义,容易得,对于任何集合 A,B ,有

A∩B=B∩A, A∩B⊆A, A∩B⊆B;

A∪B=B∪A, A⊆A∪B, B⊆A∪B;

特别地,

A∩A=A, A∩∅=∅;

A∪A=A, A∪∅=A.

全集与补集

全集

如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作 U.

补集

        设 U 是全集,A 是 U 的一个子集,由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合,叫做子集 A 在 U 中的补集记作∁UA,即

∁UA={x|x∈U,且 x∉A}.


幂集

       定义:设有集合A,由集合A所有子集组成的集合,称为集合A的幂集。

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