欧拉

题目大意：二维平面上有 n 个点，对这 n 个点进行黑白染色，使得每行每列都满足 黑色的点和白色的点的个数的差值 小于等于 1. 按行列连边构成一张二分图，X部为 x 坐标， Y部为 y 坐标，一个点的坐标为 (x,y)，则连一条从 x 到 y 的边。 问题转化为对边进行染色，使得任意一个点所连的边中，黑色和白色的差值的绝对值不超过 1。 每一个点具有偶数度是无向图具有欧拉回路的充分必要条件，若在二分图上满足这个重复必要条件，则可以在这个二分图上构造一条欧拉回路，每条(x,y)边作为入边时染成黑色，作为出边时染成白色。 这样构造一定满足条件，每一个节点连出去的边一定有一半被染成黑色，一半被染成白色。 对于二分图上奇度数的节点，分别在 X 部和 Y部 构造一个虚点，将它们分别连一条边到虚点上，使得最后可以构造欧拉回路。 可以观察到 X 部奇度数的点的个数的奇偶性，和Y部的相同，使用归纳法证明： 当只有一条边时：显然成立，X 部和 Y 部各有一个节点具有奇度数。 假设二分图有 n 条边时，结论也成立。 当 n = n + 1 时，新加的边必然使得X部和Y部的 奇度数的点的个数的奇偶性同时改变 因此可以证得两边具有奇度数的点的个数的奇偶性一定相同，基于这个性质，为 X,Y分别构建一个虚点，奇度数的点向虚点连边，最后一定能构造出一个具有欧拉回路的二分图。 关于实现： 构造欧拉回路使用

猜想 猜想 使用欧拉线性筛解决素数打表预处理，然后再利用巧妙的一部求和 代码实现如下 # include <bits/stdc++.h> using namespace std ; const int N = 16777216 ; //根据题目范围，定义素数筛范围 int prime [ N + 1 ] , n , n1 , c ; //prime素组用于欧拉线性筛处理 bool isprime [ N + 1 ] ; //布尔类型存取是否为素数 int main ( ) { memset ( isprime , true , sizeof ( isprime ) ) ; //先默认所有数为素数 for ( int i = 2 ; i < N ; i ++ ) { if ( isprime [ i ] ) prime [ c ++ ] = i ; //存素数 for ( int j = 0 ; j < c && prime [ j ] * i <= N ; j ++ ) { isprime [ prime [ j ] * i ] = false ; if ( i % prime [ j ] == 0 ) break ; //详见上一篇关于欧拉的博客 } } while ( scanf ( "%d" , & n ) != EOF ) { n1 = 0 ; for ( int i =

找到了心仪的小姐姐月月后，华华很高兴的和她聊着天。然而月月的作业很多，不能继续陪华华聊天了。华华为了尽快和月月继续聊天，就提出帮她做一部分作业。 月月的其中一项作业是：给定正整数A、B、P，求ABmodPABmodP的值。华华觉得这实在是毫无意义，所以决定写一个程序来做。但是华华并不会写程序，所以这个任务就交给你了。 因为月月的作业很多，所以有T组询问。 一开始以为一个欧拉降幂+大数取模就够了，结果发现不是，反正过不了。然后就发现了就__int128这个东西，好用。就是输入输出cin scanf cout printf都不行，你可以转成字符串输出。 # include <bits/stdc++.h> using namespace std ; # define ll long long ll t , aa , bb , pp ; __int128 a , b , p ; void slove ( ) { ll ans = 1 ; while ( b ) { if ( 1 & b ) { ans = ans * a % p ; } b / = 2 ; a = a * a % p ; } cout << ans ; printf ( "\n" ) ; } int main ( ) { cin >> t ; while ( t -- ) { cin >> aa >> bb >> pp ;

原文地址：https://blog.csdn.net/qq_34454069/article/details/77779300 定义： 欧拉回路：每条边恰好只走一次，并能回到出发点的路径 欧拉路径：经过每一条边一次，但是不要求回到起始点 无向图 首先，在无向图中，要确定是否存在欧拉回路很容易：只要每个点的度数均为偶数即可。（这里就不扯什么连不连通的鬼东西了）。 因为每个点的度数为偶数，所以可以将整个图看做由数个环嵌套而成，因为环一定能找到一条欧拉回路，所以整个图也能找到欧拉回路。 欧拉路径：如果有且仅有两个点的度数为奇数，就会存在一条从这两个中的一个到达另一个的欧拉路径。 假如在这两个点间连一条边，就能够从任意一个点出发找到一条欧拉回路，当出发点为这两个点中的一个时，切断这条边，就成为一条欧拉路径了。 有向图 欧拉回路：所有点的入度等于出度，就存在一条欧拉回路。 这里可以换一种角度来理解，对于每一个点，每次进入这个节点，就一定有一条路可以出去，因此必定存在一条欧拉回路。 欧拉路径：最多有一点入度等于出度+1，最多有一点入度等于出度-1，就会有一条从出度大于入度（没有则等于）的点出发，到达出度小于入度（没有则等于）的点的一条欧拉路径。证明方法与无向图的欧拉路径类似。 来源： https://www.cnblogs.com/WTSRUVF/p/9359239.html

题目描写叙述： 你是一座大庄园的管家。 庄园有非常多房间，编号为 0、1、2、3。...。 你的主人是一个心不在 焉的人，常常沿着走廊任意地把房间的门打开。多年来，你掌握了一个诀窍：沿着一个通道，穿 过这些大房间，并把房门关上。你的问题是是否能找到一条路径经过全部开着门的房间。并使得： 1) 通过门后马上把门关上。 2) 关上了的门不再打开。 3) 后回到你自己的房间（房间 0），而且全部的门都已经关闭了。 在本题中。给定房间列表。及连通房间的、开着的门。并给定一个起始房间。推断是否存在 这种一条路径。不须要输出这种路径。仅仅需推断是否存在。 假定随意两个房间之间都是连通 的（可能须要经过其它房间）。 输入描写叙述： 输入文件包括多个（多可达 100 个）測试数据，每一个測试数据之间没有空行隔开。 每一个測试数据包括 3部分： 起始行－格式为“START M N”，当中 M 为管理员起始所处的房间号。N 为房间的总数（1 ≤N≤20）； 房间列表－一共 N行，每行列出了一个房间通向其它房间的房间号（仅仅需列出比它的号码大 的房间号，可能有多个，按升序排列），比方房间 3有门通向房间 1、5、7。则房间 3的信息行内 容为“5 7”，第一行代表房间 0，后一行代表行间 N-1。 有可能有些行为空行。当然后一行肯 定是空行，由于 N-1 是大的房间号；两个房间之间可能有多扇门连通。

题目描写叙述： 你是一座大庄园的管家。 庄园有非常多房间，编号为 0、1、2、3，...。 你的主人是一个心不在 焉的人，常常沿着走廊任意地把房间的门打开。 多年来，你掌握了一个诀窍：沿着一个通道，穿 过这些大房间，并把房门关上。你的问题是是否能找到一条路径经过全部开着门的房间。并使得： 1) 通过门后马上把门关上； 2) 关上了的门不再打开。 3) 后回到你自己的房间（房间 0）。而且全部的门都已经关闭了。 在本题中，给定房间列表。及连通房间的、开着的门。并给定一个起始房间，推断是否存在 这种一条路径。不须要输出这种路径。仅仅需推断是否存在。 假定随意两个房间之间都是连通 的（可能须要经过其它房间）。 输入描写叙述： 输入文件包括多个（多可达 100 个）測试数据。每一个測试数据之间没有空行隔开。 每一个測试数据包括 3部分： 起始行－格式为“START M N”，当中 M 为管理员起始所处的房间号，N 为房间的总数（1 ≤N≤20）； 房间列表－一共 N行，每行列出了一个房间通向其它房间的房间号（仅仅需列出比它的号码大 的房间号。可能有多个，按升序排列）。比方房间 3有门通向房间 1、5、7，则房间 3的信息行内 容为“5 7”。第一行代表房间 0，后一行代表行间 N-1。有可能有些行为空行，当然后一行肯 定是空行，由于 N-1 是大的房间号；两个房间之间可能有多扇门连通。

欧拉函数 φ ( n ) o r ϕ ( n ) \varphi(n) or \phi(n) φ ( n ) o r ϕ ( n ) 表示小于n的正整数与n互质的数的个数. 显然有: 当n为质数时 φ ( n ) \varphi(n) φ ( n ) 当n为奇数时 φ ( 2 n ) = φ ( n ) \varphi(2n) = \varphi(n) φ ( 2 n ) = φ ( n ) 证明： ∵ \because ∵ 欧拉函数为积性函数. ∴ φ ( 2 n ) = φ ( 2 ) ∗ φ ( n ) \therefore \varphi(2n) = \varphi(2) \ast \varphi(n) ∴ φ ( 2 n ) = φ ( 2 ) ∗ φ ( n ) ∵ φ ( 2 ) = 1 \because \varphi(2)=1 ∵ φ ( 2 ) = 1 ∴ φ ( 2 n ) = φ ( n ) \therefore \varphi(2n) = \varphi(n) ∴ φ ( 2 n ) = φ ( n ) 欧拉函数通项公式 φ ( n ) = n ( 1 − 1 p 1 ) ( 1 − 1 p 2 ) ( 1 − 1 p 3 ) . . . ( 1 − 1 p k ) \varphi (n)= n (1 - \frac {1} {p_1})(1 -

混合图： 即有的边有向，有的边无向。 定义： 对于图G的一个回路，若它恰通过G中每条边一次,则称该回路为 欧拉(Euler)回路 。 具有欧拉回路的图称为 欧拉图 （简称E图）。 定理 ： 一个无向图是欧拉图，当且仅当该图所有顶点度数都是偶数。 一个有向图是欧拉图，当且仅当该图所有顶点度数都是0。 有向图存在欧拉回路的充要条件：基图（把所有有向边变成无向边以后得到的图）连通，且每个点的出度等于入度。 所以求混合图的关键是：判断能否存在一个定向，使得每个节点的入度等于出度。 因此可以用网络流来做。建边方法，黑书上有两种，这里讲第二种，更好一点的。图的点数为n + 2，边数为 m + n，其中，n为原点数，m为原边数。 黑书上的讲的我没看太懂，按照我自己的理解，讲一下建图过程。 在原图中，首先给每条无向边任意定向，构成一个有向图，计算每个点的度deg，入度为正，出度为负，如果某个点的deg为奇数，显然不存在欧拉回路。由于原来的有向边，不能更改方向，无用，删了，对原图中的无向边定向后构成的有向图，如果点 i 到j 有一条弧，弧< i , j >容量加1(i 到 j 有多条边的时候，即有重边，可以一条边，多容量代替) 增加源点S，汇点T，对于每个点 i ，如果deg < 0，即出度大于入度，从S引一条弧到 i ，容量为(- deg ) / 2；如果deg > 0, 即入度大于出度，从 i

欧拉筛是O(n)复杂度的筛素数算法，1秒内埃筛能处理1e6的数据，而1e7的数据就必须用欧拉筛了。 埃筛的基本思想是：素数的倍数一定是合数。 欧拉筛基本思想是：任何数与素数的乘积一定是合数 算法概述： 遍历 [2, n] 的所有数 i ，内层循环遍历已经找到的素数 prime[j] ，将 i * prime[j] 标记为合数。 内层循环的最后，检查如果 prime[j] 是 i 的最小质因子，则退出到外层循环，因为 prime[j+1] * i 肯定已经被筛过了。 代码： # include <bits/stdc++.h> using namespace std ; const int MAXN = 1e7 + 5 ; int isPrime [ MAXN ] ; // isPrime[i] 表示i是否素数 int prime [ MAXN ] ; // 按顺序存素数 int cnt = 0 ; // 素数个数 // 找出n以内的全部（cnt个）素数 void euler ( int n ) { memset ( isPrime , 1 , sizeof ( isPrime ) ) ; // 默认全是素数 cnt = isPrime [ 0 ] = isPrime [ 1 ] = 0 ; // 素数个数清零，标记0和1不是素数 // 已知 [2, n] 之间的每一个数 i

题目连接：https://vjudge.net/problem/HDU-1956 题意：给定一些点和一些边，有些边是有向的，，有些边是无向的，求是否存在欧拉回路。 题解：想不到的网络流。 混合图： 即有的边有向，有的边无向。 定义： 对于图G的一个回路，若它恰通过G中每条边一次,则称该回路为 欧拉(Euler)回路 。 具有欧拉回路的图称为 欧拉图 （简称E图）。 定理 ： 一个无向图是欧拉图，当且仅当该图所有顶点度数都是偶数。 一个有向图是欧拉图，当且仅当该图所有顶点度数都是0。 有向图存在欧拉回路的充要条件：基图（把所有有向边变成无向边以后得到的图）连通，且每个点的出度等于入度。 所以求混合图的关键是：判断能否存在一个定向，使得每个节点的入度等于出度。 建图过程。 在原图中，首先给每条无向边任意定向，构成一个有向图，计算每个点的度deg，入度为正，出度为负，如果某个点的deg为奇数，显然不存在欧拉回路。由于原来的有向边，不能更改方向，无用，删了，对原图中的无向边定向后构成的有向图，如果点 i 到j 有一条弧，弧< i , j >容量加1(i 到 j 有多条边的时候，即有重边，可以一条边，多容量代替) 增加源点S，汇点T，对于每个点 i ，如果deg < 0，即出度大于入度，从S引一条弧到 i ，容量为(- deg ) / 2；如果deg > 0, 即入度大于出度，从 i