一、辗转相除法
gcd（a，b）=gcd（b，a%b）
二、二进制算法优化
若x=y，则gcd（x，y）=x，否则：
①若x，y均为偶数，则gcd（x，y）=2*gcd（x/2，y/2）；
②若x为奇数，y为偶数，则gcd（x，y）=2*gcd（x，y/2）；
③若x为偶数，y为奇数，则gcd（x，y）=2*gcd（x/2，y）；
④若x，y均为奇数，则gcd（x，y）=gcd（x-y，y）；
代码实现
int gcd(int x,int y)
{
int i,j;
if(x==0)return y;
if(y==0)return x;
for(i=0;!(x&1);i++)x>>=1;
for(j=0;!(y&1);j++)y>>=1;
if(j<i)i=j;
while(1)
{
if(x<y)x^=y,y^=x,x^=y;
x-=y;
if(x==0)return y<<i;
while(!(x&1))x>>=1;
}
}
三、最小公倍数
LCM（a，b）×GCD（a，b）=a×b
四、扩展欧几里得算法
首先我们有结论：ax+by=c的充分必要条件是gcd（a，b）|c
所以我们可以用扩展欧几里得定理来求解一组ax+by=gcd（a，b）的解
∵gcd（a，b）=gcd（b，a%b）
∴ax+by=gcd（a，b）=gcd（b，a%b）=bx+（a%b）y=bx+（a-a/b*b）y=ay+（x-a/b*y）b
因此就可以得到x、y的转移等式，而b=0时显然x=1，y=0。
五、求解线性同余方程
对于不定方程ax+by=c，等价于ax≡c（mod b），所以当我们用扩展欧几里得定理求出一组特解x0、y0后，通解为：
x=x0+b*t，y=y0-a*t，其中t为任意整数。
而对于最小正整数解，设t=b/gcd（a，b），x=（x%t+t）%t。
例1：
欧几里得的游戏
有两个数M、N，每次可以将大的数减去小的数的正整数倍，先得到0的人获胜，给出M、N，求先手胜还是后手胜。
首先我们考虑特例，这里假设所有M>N：
①如果M%N=0，那么显然先手胜。
②如果M%N≠0，那么显然（M，N）这个状态可以转移到（M-N*K，N），极限状态为（N，M%N），这样就相当于又开了一局游戏。而对于每一种极限状态，我们都可知N<M<N*2，所以我们可以考虑取到（M%N+N，N），那么就保证每一次自己操作都是极限状态，而对于结束状态一定是极限状态，所以在两个人都按最优策略取时，胜方必定可以保证自己每次都取到极限状态，所以相当于做一次欧几里得算法。
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
int m,n;
scanf("%d%d",&m,&n);
if(m<n)m^=n,n^=m,m^=n;
bool f=1;
while(m/n==1&&m%n!=0)
{
int t=m%n;m=n;n=t;
f^=1;
}
if(f)printf("Stan wins\n");
else printf("Ollie wins\n");
}
}