牛顿

ylbtech-物理学家：牛顿 艾萨克·牛顿（1643年1月4日—1727年3月31日） 爵士 ， 英国皇家学会 会长，英国著名的 物理学家 ，百科全书式的“全才”，著有《 自然哲学的数学原理 》、《 光学 》。 他在1687年发表的论文《 自然定律 》里，对 万有引力 和三大运动定律 进行了描述。这些描述奠定了此后三个世纪里物理世界的科学观点，并成为了现代工程学的基础。他通过论证 开普勒行星运动定律 与他的引力理论间的一致性，展示了地面物体与天体的运动都 遵循 着相同的自然定律；为太阳中心说提供了强有力的理论支持，并推动了科学革命。 在力学上，牛顿阐明了 动量 和 角动量守恒 的原理，提出 牛顿运动定律 。在光学上，他发明了 反射望远镜 ，并基于对 三棱镜 将白光发散成可见 光谱 的观察，发展出了颜色理论。他还系统地表述了 冷却定律 ，并研究了音速。 在数学上，牛顿与 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨 分享了发展出 微积分 学的荣誉。他也证明了广义 二项式定理 ，提出了“ 牛顿法 ”以趋近函数的零点，并为幂级数的研究做出了贡献。 在经济学上，牛顿提出 金本位 制度。 1. 返回顶部 1、 中文名：艾萨克·牛顿 外文名：Isaac Newton 国 籍：英国 出生地：英国 林肯郡 伍尔索普村 出生日期：1643年1月4日 逝世日期：1727年3月31日 职 业：物理学家、数学家 毕业院校

⽜顿法是梯度下降法的进一步发展，梯度下降法利利用目标函数的一阶偏导数信息、以负梯度方向作为搜索方向，只考虑目标函数在迭代点的局部性质；而牛顿法不仅使用目标函数的一阶偏导数，还进一步利⽤了目标函数的二阶偏导数，这样就考虑了梯度变化的趋势，因⽽而能更全面地确定合适的搜索⽅方向加快收敛，它具二阶收敛速度。 但牛顿法主要存在以下两个缺点： 1. 对目标函数有较严格的要求。函数必须具有连续的一、二阶偏导数，海海森矩阵必须正定。 2. 计算相当复杂，除需要计算梯度以外，还需要计算二阶偏导数矩阵和它的逆矩阵。计算量、存储量均很⼤，且均以维数N的平⽅增加，当N很⼤时这个问题更加突出。 ⽜顿法虽然收敛速度快，但是计算过程中需要计算目标函数的二阶偏导数， 计算复杂度较⼤ 。而且有时目标函数的海森矩阵无法保持正定， 从而使⽜顿法失效。 为了克服这两个问题，⼈们提出了拟⽜牛顿法。这个方法的基本思想是： 不⽤⼆阶偏导数而构造出可以近似海森矩阵或者海森矩阵的逆的正定对称阵，在拟⽜顿的条件下优化⽬目标函数。不同的构造⽅法就产生了不同的拟牛顿法。 也有人把“拟牛顿法”翻译成“准牛顿法”，其实都是表示“类似于牛顿法”的意思，因此只是对算法 中用来计算搜索方向的海森矩阵（或海森矩阵的逆）作了近似计算罢了。 来源： https://www.cnblogs.com/zjuhaohaoxuexi/p/11808215

目前接触到的牛顿迭代法主要应用于两个方面:(1)方程求根问题(2)最优化问题。 1、求解方程。 并不是所有的方程都有求根公式，或者求根公式很复杂，导致求解困难。利用牛顿法，可以迭代求解。 原理是利用泰勒公式，在x0处展开，且展开到一阶，即f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0) 求解方程f(x)=0，即f(x0)+(x-x0)*f'(x0)=0，求解 x = x1=x0－f(x0)/f'(x0) ，因为这是利用泰勒公式的一阶展开，f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)处并不是完全相等，而是近似相等，这里求得的x1并不能让f（x）=0，只能说f(x1)的值比f(x0)更接近f（x）=0，于是乎，迭代求解的想法就很自然了，可以进而推出x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，通过迭代，这个式子必然在f（x*）=0的时候收敛。整个过程如下图： 2、牛顿法用于最优化 在最优化的问题中，线性最优化至少可以使用单纯行法求解，但对于非线性优化问题，牛顿法提供了一种求解的办法。假设任务是优化一个目标函数f，求函数f的极大极小问题，可以转化为求解函数f的导数f'=0的问题，这样求可以把优化问题看成方程求解问题（f'=0）。剩下的问题就和第一部分提到的牛顿法求解很相似了。 这次为了求解f'=0的根，把f（x）的泰勒展开，展开到2阶形式： 这个式子是成立的，当且仅当

来源：51CTO 作者： 段智华 链接：https://blog.csdn.net/duan_zhihua/article/details/100856965

牛顿法，全称Newton's method。 当N=1时， 牛顿法的基本思想是：在现有极小点估计值的附近对f(x)做二阶泰勒展开，进而找到极小点的下一个估计值。设 为当前的极小值点的估计值，那么通过二阶泰勒： 由于求的是最值， 应满足 即 求得 令 ,则 当N>1时，超过二维。二阶泰勒展开式可以做推广。 为f的梯度向量， 为f的海森矩阵，其定义如下所示。 令 同理， 则 若矩阵非奇异，存在逆矩阵时，可求解为： 牛顿法算法伪代码： 缺点： 原始牛顿法在迭代公式中没有步长因子，定 迭代，对于非二次型目标函数，有时会使函数值上升，表明牛顿法不能保证函数值稳定地下降，在严重的情况下，甚至可能造成迭代点列{ }发散而失败。 来源：博客园 作者： cymx66688 链接：https://www.cnblogs.com/cymx66688/p/11514568.html

普通的牛顿二项式定理在高中学习过的，当乘方为正整数的时候，但是有些时候需要用到不一定是正整数的情况（比如生成函数），需要用到分数或者负数等等，于是广义牛顿二项式定理就出来了。 首先我们引入牛顿二项式系数${r \choose n}$。 牛顿二项式系数定义: 设r为实数，n为整数，引入形式符号 $${r \choose n}= \begin{cases} 0， & n<0\\ 1， & n=0\\ \frac{r(r-1)\cdots (r-n+1)}{n!}， & n>0 \end{cases}$$ 广义牛顿二项式定理： 　　　　　　　　　　　　　　　　 $(x+y)^{\alpha}=\sum_{n=0}^\infty{\alpha \choose n}x^{n}y^{\alpha-n}$ 其中x，y，α为实数，且$\mid\frac{x}{y}\mid<1$ 证明： 证明需要用到数学分析的知识，没学过的话，应该看不懂2333。 令$z=\frac{x}{y}$则有： $(x+y)^{\alpha}=y^{\alpha}(1+z)^{\alpha}，\mid z\mid <1$ 设$f(z)=(1+z)^{\alpha}$，于是有： $f^{(n)}(z)=\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)(1+z)^{\alpha -n}$ 因此，当z

此部分内容接《02(a)多元无约束优化问题》！ 第二类：牛顿法(Newton method) \[f({{\mathbf{x}}_{k}}+\mathbf{\delta })\text{ }\approx \text{ }f({{\mathbf{x}}_{k}})+{{\nabla }^{T}}f({{\mathbf{x}}_{k}})\cdot \mathbf{\delta }+\frac{1}{2}{{\mathbf{\delta }}^{T}}\cdot {{\nabla }^{2}}f({{\mathbf{x}}_{k}})\cdot \mathbf{\delta }\] 在${{\mathbf{x}}_{k}}$定了的情况下，$f({{\mathbf{x}}_{k}}+\mathbf{\delta })\text{ }$可以看成是$\mathbf{\delta }$的函数，要使函数达到极小值点，即找出使得函数$f({{\mathbf{x}}_{k}}+\mathbf{\delta })$对$\mathbf{\delta }$的一阶导数等于0，则有： 则下降方向可写为：$\mathbf{\delta }=-{{H}^{-1}}({{\mathbf{x}}_{k}})\cdot \nabla f({{\mathbf{x}}_{k}})$。 (听课的时候就一直在想

上一篇 牛顿法(Newton Method) 中介绍了牛顿法的基本思路，牛顿法具有二阶收敛性，相比较最速下降法，收敛的速度更快。 但是牛顿法也有一个缺点就是：求解Hessian矩阵复杂度比较大 对于函数 f ( X ) f(X) f ( X ) ，其中 X = [ x 1 , x 2 , … , x n ] T X=[x_1,x_2,…,x_n ]^T X = [ x 1 , x 2 , … , x n ] T 为向量。在牛顿法的求解过程中，首先是将 f ( X ) f(X) f ( X ) 函数在 X k + 1 X^{k+1} X k + 1 处展开，并且令 f ( X ) f(X) f ( X ) 函数在 X k + 1 X^{k+1} X k + 1 处的梯度为： f ( X k + 1 ) = [ f x 1 , f x 2 , … , f x n ] T f ( X k + 1 ) = [ x 1 f , x 2 f , … , x n f ] T 泰勒展开为： f ( X ) = f ( X k + 1 ) + f ( X k + 1 ) T ( X X k + 1 ) + 1 2 ( X X k + 1 ) T G k + 1 ( X X k + 1 ) + + o f ( X ) = f ( X k + 1 ) + f ( X k + 1 ) T ( X X k

多绚烂的花，多美妙的季节； 没有一朵花，能留住它的季节。 我也是一样，不停地追寻， 我终究要失去的 回到logistic回归最大似然函数这里，现在我们用牛顿法来最大化这个对数似然函数。 牛顿法求零点 牛顿法本是用来求函数 零点 的一个方法，一个函数的零点就是指使这个函数等于零那个自变量的取值点。 牛顿法的更新公式为， \[ \begin{equation} \theta :=\theta-\frac{f(\theta)}{f^{\prime}(\theta)} \end{equation} \] 这个更新公式有一个非常自然的解释，就是在当前近似零点处的切线的零点作为下一轮零点的更好的近似。然后不停重复这个过程来不断的逼近真实的零点。这个过程如下图， 牛顿法求极值点 牛顿法是求零点的一个方法，现在求一个函数机智的就是求函数导数的零点，因此就有如下的牛顿法求极值点更新公式， \[ \begin{equation} \theta :=\theta-\frac{\ell^{\prime}(\theta)}{\ell^{\prime \prime}(\theta)} \end{equation} \] 现在我们在logistic回归中要最大化的那个参数是一个向量。因此牛顿法推广到高维情形（又叫Newton-Raphson法），就有， \[ \begin{equation} \theta :=

Leetcode 69. Sqrt(x) Easy https://leetcode.com/problems/sqrtx/ Implement int sqrt(int x) . Compute and return the square root of x , where x is guaranteed to be a non-negative integer. Since the return type is an integer, the decimal digits are truncated and only the integer part of the result is returned. Example 1: Input: 4 Output: 2 Example 2: Input: 8 Output: 2 Explanation: The square root of 8 is 2.82842..., and since the decimal part is truncated, 2 is returned. 分析： leetcode上的这个不带精度要求，且输出一个整数即可（其实可以当成精度要求小于等于1）。 方法一：（二分法） 对于本题，最直观的方法就是二分法。使用二分法时，需要注意有三个指针，分别指向前中后(pre、medium、last，在书写、习惯