牛顿

插值多项式的牛顿法 1.为何需要牛顿法？ ​ 使用Lagrange插值法不具备继承性。当求好经过 \(({x_0},{y_0})-({x_n},{y_n})\) 共n+1个点的插值曲线时候，如果再增加一个点，由Lagrange插值法通式 \[\sum_{k=0}^{n}\frac{\prod_{i=0,i\ne k}^{n}(x-x_i)}{\prod_{i=0,i\ne k}^{n}(x_k-x_n)}y_k\] 可以知道，当再增加一个点时候,Lagrange 多项式还要重新计算以确定系数。 2.牛顿插值多项式 由线性代数的知识可以知道，任何n次多项式都可以表示成1, \((x-x_0)\) ， \((x-x_0)(x-x_1)\) ， \({\ldots}\) ， \((x-x_0)(x-x_1){\ldots}(x-x_{n-2})(x-x_{n-1})\) 的线性组合形式，牛顿插值多项式正是基于这一点。 \(N_n\) (x)= \(a_0\) + \(a_1\) ( \(x-x_0\) )+ \(a_2\) ( \(x-x_0\) )( \(x-x_1\) )+ \({\ldots}\) + \(a_n(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2){\ldots}(x-x_{n-1})\) ，其中 \(a_k\) 为插值多项式的待定系数。

插值多项式的牛顿法 1.为何需要牛顿法？ ​ 使用Lagrange插值法不具备继承性。当求好经过$({x_0},{y_0})-({x_n},{y_n})$共n+1个点的插值曲线时候，如果再增加一个点，由Lagrange插值法通式$$\sum_{k=0}^{n}\frac{\prod_{i=0,i\ne k}^{n}(x-x_i)}{\prod_{i=0,i\ne k}^{n}(x_k-x_n)}y_k$$可以知道，当再增加一个点时候,Lagrange 多项式还要重新计算以确定系数。 2.牛顿插值多项式 由线性代数的知识可以知道，任何n次多项式都可以表示成1,$(x-x_0)$，$(x-x_0)(x-x_1)$，${\ldots}$，$(x-x_0)(x-x_1){\ldots}(x-x_{n-2})(x-x_{n-1})$ 的线性组合形式，牛顿插值多项式正是基于这一点。$N_n$(x)=$a_0$+$a_1$($x-x_0$)+$a_2$($x-x_0$)($x-x_1$)+${\ldots}$+$a_n(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2){\ldots}(x-x_{n-1})$，其中$a_k$为插值多项式的待定系数。(一下关于牛顿插值多项式系数计算是基于各x结点的等距条件) 3.牛顿向前差分公式 假设$x=x_k,$则此时$y=y_k$，这样，若$a_0,a_1,a_2

牛顿法，全称Newton's method。 当N=1时， 牛顿法的基本思想是：在现有极小点估计值的附近对f(x)做二阶泰勒展开，进而找到极小点的下一个估计值。设 为当前的极小值点的估计值，那么通过二阶泰勒： 由于求的是最值， 应满足 即 求得 令 ,则 当N>1时，超过二维。二阶泰勒展开式可以做推广。 为f的梯度向量， 为f的海森矩阵，其定义如下所示。 令 同理， 则 若矩阵非奇异，存在逆矩阵时，可求解为： 牛顿法算法伪代码： 1) 给定初始值x0和精度阈值ε，并令k:=0 2) 计算 和 3) 若 ，则停止迭代，否则确定搜索方向 4) 计算新的迭代点， 5) 令 6) 转至2 缺点： 原始牛顿法在迭代公式中没有步长因子，定 迭代，对于非二次型目标函数，有时会使函数值上升，表明牛顿法不能保证函数值稳定地下降，在严重的情况下，甚至可能造成迭代点列{ }发散而失败。 来源： https://www.cnblogs.com/cymx66688/p/11514568.html

[参考资料] 斯坦福大学公开课 ：机器学习课程 原文: 大专栏 [4]牛顿方法 来源： https://www.cnblogs.com/petewell/p/11421981.html

牛顿法和拟牛顿法 牛顿法（Newton method）和拟牛顿法（quasi Newton method）是求解无约束最优化问题的常用方法，收敛速度快。牛顿法是迭代算法，每一步需要求解海赛矩阵的逆矩阵，计算比较复杂。拟牛顿法通过正定矩阵近似海赛矩阵的逆矩阵或海赛矩阵，简化了这一计算过程。 牛顿法 我们假设点 x ∗ 为函数 f ( x ) 的根，那么有 f ( x ∗ ) =0。现在我们把函数 f ( x ) 在点 x k 处一阶泰勒展开有： 假设点 x k + 1 为该方程的根，则有： 可以得到 这样我们就得到了一个递归方程，我们可以通过迭代的方式不断的让 x趋近于 x ∗ 从而求得方程 f ( x ) 的解。 最优化问题 对于最优化问题，其极值点处一阶导数为0。因此我们可以在一阶导数处利用牛顿法通过迭代的方式来求得最优解，即相当于求一阶导数对应函数的根。 首先，我们对函数在 x 0 点处进行二阶泰勒展开 对x求导可得 由于在极值点处 ，于是 从而可以得出下一个x的位置 其迭代形式为 对于多维函数， 二阶导数就变成了一个海森矩阵 ， 二阶泰勒展开公式如下: 图中的 便是海森矩阵 。 迭代公式就变成了 。 我们可以看到，当 H k 为正定（ H k -1 也正定 ）的时候，可以保证牛顿法的搜索方向是向下搜索的。 拟牛顿法 当特征特别多的时候，求海森矩阵的逆矩阵，运算量是非常大且慢

普通的牛顿二项式定理在高中学习过的，当乘方为正整数的时候，但是有些时候需要用到不一定是正整数的情况（比如生成函数），需要用到分数或者负数等等，于是广义牛顿二项式定理就出来了。 首先我们引入牛顿二项式系数${r \choose n}$。 牛顿二项式系数定义: 设r为实数，n为整数，引入形式符号 $${r \choose n}= \begin{cases} 0， & n<0\\ 1， & n=0\\ \frac{r(r-1)\cdots (r-n+1)}{n!}， & n>0 \end{cases}$$ 广义牛顿二项式定理： 　　　　　　　　　　　　　　　　 $(x+y)^{\alpha}=\sum_{n=0}^\infty{\alpha \choose n}x^{n}y^{\alpha-n}$ 其中x，y，α为实数，且$\mid\frac{x}{y}\mid<1$ 证明： 证明需要用到数学分析的知识，没学过的话，应该看不懂2333。 令$z=\frac{x}{y}$则有： $(x+y)^{\alpha}=y^{\alpha}(1+z)^{\alpha}，\mid z\mid <1$ 设$f(z)=(1+z)^{\alpha}$，于是有： $f^{(n)}(z)=\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)(1+z)^{\alpha -n}$ 因此，当z

本文参考了 [原创]关于 最优化/Optimization 的一些概念解释 的基础上加入了一些新东西 参考了 牛顿法与拟牛顿法学习笔记 中的部分内容 [1]关于 凸 顾名思义，凸就是曲线是一个山谷形状，凹就是曲线是山峰形状。 凸函数是一个 凸子集 （ 区间 ）上的 实值函数 ，如果在其 定义域 上的任意两点 ，以及 ，有 也就是说，一个函数是凸的 当且仅当 其 上境图 （在 函数图像 上方的 点集 ）为一个 凸集 。 如果对于任意的 有 ，函数 是严格凸的。 [2]搜索方向 在最优化领域，我们经常会遇到“在某个方向上进行搜索”的说法，例如，使用共轭方向法来寻找最优解的过程中，我们会在共轭方向上进行搜索，那么，这个“方向”到底指的是什么呢？ 对一维空间中的方向，我们可能有一种模糊的概念：就像是面前有一条笔直的路，我们沿着它走下去，想要寻找梦中的那个美丽佳人，但是我们不知道她在哪里，于是只能一边走，一边看，有时步子迈大点，有时步子迈小点。这就是一个“在一维方向上进行搜索”的例子。 然后推广到二维平面上：我们可以先在水平方向上移动一段距离，再在垂直方向上移动一段距离，综合起来看，你就可以在在二维平面上移动到任意的地方了。单独看水平或者垂直方向上你的移动，那就是在一个“方向”上的搜索。 假设有一个函数： 其自变量为 n 维的，即： 我们已知了X的初始点 ，现在还有一个实数a

0.介绍 内容来自工程数学课程PPT的学习。 线搜索方法实际上是一种寻找目标函数 f 的局部?最小值的近似方法。 1.目录 5.1 Step length 步长 5.2 Convergence of Line Search Methods 线搜索方法的收敛 5.3 Rate of Convergence 收敛速率 5.4 Newton’s Method with Hessian Modification 海森修正的牛顿方法 5.5 Step-Length Seletion Algorithms 步长选择方法 2.内容 2.1 概述 线搜索方法的每一步迭代，首先计算出一个方向Pk，然后决定沿着该方向移动多远。 迭代式为： 其中的正标量(Positive Scalar)αk就是步长。 Pk是一个满足下式的下降方向： Pk自身的形式为: 其中的Bk是一个对称的非正定矩阵。 备注1： 正定矩阵，就是----------如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT表示z的转置，就称M为正定矩阵。https://www.cnblogs.com/marsggbo/p/11461155.html 此外，Bk的不同取值对应着不同的方法（最速下降方法、牛顿法和拟牛顿法）： 2.2 PPT内容 5.1 步长（Step Length） 如何选择步长：步长的选择实际上是对两个预期要求的一种权衡