模运算

一、内置数值运算操作符 Python提供了9个基本的数值运算操作符，如表3.2所示。这些操作符由python解释器直接提供，不需要引用标准或第三方函数库，也叫内置操作符。 1.x+y x与y之和 2.x-y x与y之差 3.x*y x与y之积 4.x/y x与y之商 5.x//y x与y之整数商，即不大于x与y之商的最大整数 6.x%y x与y之商的余数，也称模运算 7.-x x的负值，即x(-1)* 8.+x x的本身 9.x**y x的y次幂，即x^y 这9个操作数与数学 习惯一致，运算结果也符合数学意义。操作运算的结果可能改变数字类型，三种数字类型之间存在一种逐渐扩展的关系，具体如下： 整数>浮点数>复数 二、内置数值运算函数 python解释器提供了一些内置函数，在这些内置函数之中，有6个函数与数值运算相关，如下所示 abs(x) x的绝对值 divmod(x,y) （x//y,x%y），输出为二元组形式（也称元组内型） pow(x,y[,z]) (x**y)%z,[....]表示该参数可以省略，即pow(x,y),它与x**y相同 round(x,[,ndigits]) 对x四舍五入，保留ndigits位小数。round(x）返回四舍五入的整数值 max(x1,x2,,,,xn) x1,x2...xn的最大值，n没有限定 min(x1,x2,,,,,xn) x1,x2..

1.模运算（mod) 模运算也可以称为取余运算，例如 23≡11（mod12),因此如果a=kn+b,也可以表示为a ≡ b(mod n)，运算规则： （a+b) mod n = ((a mod n) + (b mod n))mod n (a*b) mod n = ((a mod n) * (b mod n)) mod n 完全剩余集合 1~n-1构成了自然数n的完全剩余集合，对于任意一个整数m%n都存在于1~n的集合中 。 构造加法链 在加密算法中，运用到了大量的取模运算，对于一个k位数模n，所有的运算例如加减乘除中间结构将不会超过2k位，因此例如a x mod n将会大大简化计算时的复杂度。 例如a 8 mod n 在计算时可以这样计算 ((a 2 mod n) 2 mod n) 2 mod n 当指数x不是2的倍数时则需要构造加法链，例如25，25 = 16 + 8 +1 = 2 4 + 2 3 + 2 0 因此a 25 mod n = （a * a 8 * a 16 ) mod n = ((((a 2 * a) 2 ) 2 ) 2 *a)mod n C语言表示 unsigned long ss(unsigned long x , unsigned long y , unsigned long n) { unsigned long s,t,u; int i ; s = 1;

最近在读C++ primer的时候，发现p32上写道：当我们赋给无符号类型一个超出它表示范围的值时，结果是初始值对无符号类型表示数值总数取模后的余数。因此，把-1赋值给8比特大小的unsigned char所得的结果是255。 -1怎么取模？ 这里先明确一下取模和取余的区别：（百度百科） 取模运算（“Module Operation”）和取余运算（“Complementation ”）两个概念有重叠的部分但又不完全一致。主要的区别在于对负整数进行除法运算时操作不同。取模主要是用于计算机术语中。取余则更多是数学概念。模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用。 对于整型数a，b来说，取模运算或者求余运算的方法都是： 1.求 整数商： c = a/b; 2.计算模或者余数： r = a - c b. 求模运算和求余运算在第一步不同: 取余运算在取c的值时，向0 方向舍入(fix()函数)；而取模运算在计算c的值时，向负无穷方向舍入(floor()函数)。 例如计算：-7 Mod 4 那么：a = -7；b = 4； 第一步：求整数商c，如进行求模运算c = -2（向负无穷方向舍入），求余c = -1（向0方向舍入）； 第二步：计算模和余数的公式相同，但因c的值不同，求模时r = 1，求余时r = -3。 归纳：当a和b符号一致时，求模运算和求余运算所得的c的值一致，因此结果一致。

1.hashmap的底层数据结构 众所皆知map的底层结构是类似邻接表的结构，但是进入1.8之后，链表模式再一定情况下又会转换为红黑树 在JDK8中，当链表长度达到8，并且hash桶容量超过64(MIN_TREEIFY_CAPACITY)，会转化成红黑树，以提升它的查询、插入效率底层哈希桶的数据结构是数组，所以也会涉及到扩容的问题。 当MyHashMap的容量达到threshold域值时，就会触发扩容。扩容前后，哈希桶的长度一定会是2的次方。 1.1 为什么用红黑树 那么为什么用红黑树呢？之前都是用的链表，之前的文章有提到链表的随机访问效率是很低的，因为需要从head一个个往后面找，那么时间复杂度就是O(n),但是如果是红黑树因为红黑树是平衡二叉树，说白了就是可以索引的，那么时间复杂度只有O(logn),这样效率就可以得到很大的提高 也许有人就想问了，那为什么还搞个链表啊，直接用红黑树不就完了： 1.链表比红黑树简单，构造一个红黑树要比构造链表复杂多了，所以在链表不多的情况下，整体性能上来看，当链表不长的时候红黑树的性能不一定有链表高 2.还有一个节点的添加和删除的时候，需要对红黑树进行旋转，着色等操作，这个就比链表的操作复杂多了 3.所以为链表设置一个阈值用来界定什么时候进行树化，什么时候维持链表，从中间取得一个均衡是很重要的 1.2 为什么阈值是64，链表长度到8

在分数取模时总会用到逆元运算 在模运算中 (a + b) % p = (a%p + b%p) %p （对） (a - b) % p = (a%p - b%p) %p （对） (a * b) % p = (a%p * b%p) %p （对） (a / b) % p = (a%p / b%p) %p （错） 对于除法的模运算不适合，所以需要定义一个新的东西来求除法模运算，这个东西就是逆元 定义: (a/b)(mod p)=(a inv[b])(mod p) 或者 a b≡1(mod P)` inv[b]就是b的逆元 a就是b的逆元，或者ab或为逆元 则根据定义可知 除以一个数再取模等同于乘以这个数的逆元再取模 但是我们不能直接说一个数的逆元是多少, 应该这么说: 一个数 x 在模 p 的条件下的逆元是多少 比如2 * 3 % 5 = 1，那么3就是2关于5的逆元，或者说2和3关于5互为逆元 (a*inv[b])%p,inv[b]就是a关于p的逆元 条件：a与p互为质数,a才有关于p的逆元 转换除法模运算 根据取模运算 (a + b) % p = (a%p + b%p) %p （对） (a - b) % p = (a%p - b%p) %p （对） (a * b) % p = (a%p * b%p) %p （对） (a / b) % p = (a%p / b%p) %p （错） (a /