莫比乌斯反演

定义：

举个栗子：

假设有两个函数$F(n),f(d)$，且$d∈\{x,x|n\}$
并有以下关系：$F(n)$等于所有$f(d)$之和。

比如：$6$能被$1,2,3,6$ 整除，所以$F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)$

用一个公示表示就是：$F(n)=\sum_{d|n}^{}{f(d)}$

$|$ 符号表示整除，$a|b$ 表示b被a整除，
也就是$b$有$a$这个因数，$b=ka$ $(k∈N)$。

由此可得到：

$F(1)=f(1)$

$F(2)=f(1)+f(2)$

$F(3)=f(1)+ f(3)$

$F(4)=f(1)+f(2)+f(4)$

$F(5)=f(1)+f(5)$

$F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)$

$F(7)=f(1)+f(7)$

稍微变形得到：

$f(1)=F(1)$

$f(2)=F(2)-f(1)=F(2)-F(1)$

$f(3)=F(3)-F(1)$

$f(4)=F(4)-f(2)-f(1)=F(4)-F(2)$

$f(5)=F(5)-F(1)$

$f(6)=F(6)-F(3)-F(2)+F(1)$

$f(7)=F(7)-F(1)$

$f(8)=F(8)-F(4)$

这样如果我们知道各个$F(n)$的值我们肯定能算出各个$f(d)$的值，只要打表推就可以了，但仔细观察一下，有没有什么规律呢？

好像每一个$f(n)$都由它所有的因子$d∈\{x,x|n\}$的$F(d)$乘上一个$0$或$1$或$-1$的系数再相加得到，我们就把这个系数也看成是$d$的一个函数$μ(d)$，称作莫比乌斯函数。

那莫比乌斯函数的值我们怎么知道呢？有没有一个通项公式？

我们就从最特殊的$f(6)$着手：

$f(6)=F(6)-F(3)-F(2)+F(1)$

我们不妨这样看：

$f(6)=1×F(\frac{6}{1})+(-1)×F(\frac{6}{2})+(-1)×F(\frac{6}{3})+1×F(\frac{6}{6})$

此时好像有点端倪了，我们可以将$F()$中每个分母看作$d$,且把$1$看做特殊情况：$μ(1)=1$,易看出$μ(2)=-1,μ(3)=-1,μ(6)=1.$

这时相信不少大佬已看出$μ(d)$的值与$d$本身互异质因子个数有关。
$2$只有一个质因子$2,3$只有一个质因子$3$，而$6$有两个质因子$2$和$3$。

假设一正整数$d$的互异质因子个数为$k$，则$μ(d)=(-1)^k$。
特殊的$μ(1)=1$.

那有些$μ(d)$却等于$0$怎么解释呢？

比如：$f(8)= F(8)-F(4),$

根据上文的推测，我们知道,

$f(8)=μ(1)×F(\frac{8}{1})+μ(2)×F(\frac{8}{2})+μ(4)×F(\frac{8}{4})+μ(8)×F(\frac{8}{8})$

再看看上文我们已有的结论，正整数$d$的互异质因子个数这就要求$d$必须能为$k$个互异且互质的数的乘积。但是$4=2×2$不满足互异，$8=2×4$不满足互质。

所以我们就猜想除1外不能由几个互质且互异的正整数相乘得到的数$d$的莫比乌斯函数值为$0$,例：$μ(4)=0,μ(8)=0$。

下面总结一下：

• $μ(d)$函数是莫比乌斯函数，如果$d=1，μ(d)=1$
• 如果$d$为互异质数$p_{1},p_{2}…p_{k}$的乘积(若$d$本身是个质数就看是它本身一个的乘积)，则$μ(d)=(−1)^k$
• 否则，$μ(d)=0$

然而，我们现在只是会求莫比乌斯函数值，什么是莫比乌斯反演呢？

其实就是下面两个定理：

1. 约数关系

若 ：$F(n)=\sum_{d|n}^{}{f(d)}$

则： $f(n)=\sum_{d|n}^{}{μ(d)F(\frac{n}{d})}$

2. 倍数关系

若 ：$F(n)=\sum_{n|d}^{}{f(d)}$

则： $f(n)=\sum_{n|d}^{}{μ(\frac{n}{d})F(d)}$

性质：

1. 莫比乌斯反演公式 ：$f(n)=\sum_{d|n}^{}{μ(d)F(\frac{n}{d})}$
2. $μ(n)是积性函数$
3. 设$f$是算术函数，他的和函数$F(n)=\sum_{d|n}^{}{f(d)}$是积性函数，那么$f$也是积性函数。
4. 对于大于$1$的正整数$n$

$\sum_{d|n}^{}{μ(d)}=0$

5. 对于任意正整数$n$

$\sum_{d|n}^{}{\frac{μ(d)}{d}}=\frac{\varphi(n)}{n}$

$\varphi(n)$是欧拉函数.

Code：

找$[1,n],[1,m]$内互质的数的对数，分块优化

ll solve(ll n,ll m )
{
    if (n>m)swap(n,m);
    ll ret=0;
    for (int i=1,last;i<=n;i=last+1)
    {
        last=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ret+=(sum[last]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
    }
    return ret;
}

莫比乌斯函数 线性筛代码：$O(n)$

const int  N=50000;
bool is_prime[N+500];
int prime[N+50];
int mu[N+50];
ll sum[N+50];
ll tot;
void Moblus()
{
    tot = 0;
    mu[1] = 1;
    for(ll i = 2; i < N; i++)
    {
        if(!is_prime[i])
        {
            prime[tot++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(ll j = 0; j < tot && i*prime[j] < N; j++)
        {
            is_prime[i*prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j])
            {
                mu[i*prime[j]] = -mu[i];
            }
            else
            {
                mu[i*prime[j]] = 0;
                break;
            }
        }
    }
}

$nlogn$ 筛法 （因子倍增法）：

void pre()  // nlogn+n+nlogn
{
    for (int i=1; i<=N; i++)
        for (ll j=i ; j<=N; j+=i)
            ud[j].x+=i; 
}

来源：CSDN

作者：邵光亮

链接：https://blog.csdn.net/qq_43627087/article/details/103492632