拉普拉斯矩阵

graph Laplacian 拉普拉斯矩阵 拉普拉斯矩阵是个非常巧妙的东西，它是描述图的一种矩阵，在降维，分类，聚类等的领域有很广泛的应用。 　　 　　其各个点之间的都有相应的边连接，我们用某个指标（这地方可以任意选择，比如欧氏距离、测地距离、或者高斯相似度等）来衡量两个点的相似度，表示为，没有边连接的其相似度自然为零，是个对称矩阵；某个点的与所有点的相似度之和，表示为；是个对角阵；我们的拉普拉斯矩阵则是 　　 　　 　　拉普拉斯映射就是直接在低维下找到样本，使得所有样本保持原来的相似度。 　　求解广义特征向量，取前几个非零最小特值对应的特向，即为原数据在低维下的表示。 　　 　　谱图理论需要找个时间看看。 http://student.zjzk.cn/course_ware/web-gcsx/gcsx/chapter5/chapter5_2_1.htm http://blog.sciencenet.cn/blog-261330-751483.html http://blog.pluskid.org/?p=287 http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:_85fSHsIv3MJ:https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%25E7%2589%25B9%25E5%25BE%2581%25E5

REFERENCE: https://www.jianshu.com/p/ad528c40a08f https://www.zhihu.com/question/54504471 Notes: 离散卷积的本质是加权求和 CNN中的卷积本质上就是利用一个共享参数的过滤器（kernel），通过计算中心像素点以及相邻像素点的加权和来构成feature map实现空间特征的提取，当然加权系数就是卷积核的权重系数。 那么卷积核的系数如何确定的呢？是随机化初值，然后根据误差函数通过反向传播梯度下降进行迭代优化。这是一个关键点，卷积核的参数通过优化求出才能实现特征提取的作用，GCN的理论很大一部分工作就是为了引入可以优化的卷积参数。 CNN在Computer Vision里效果为什么好呢？原因：可以很有效地提取空间特征。 但是有一点需要注意：CNN处理的图像或者视频数据中像素点（pixel）是排列成成很整齐的矩阵。（欧几里得距离Euclidean Structure） 与之相对应，科学研究中还有很多Non Euclidean Structure的数据，如图3所示。社交网络、信息网络中有很多类似的结构。 Graph Convolutional Network中的Graph是指数学（图论）中的用顶点和边建立相应关系的拓扑图。 那么为什么要研究GCN？ 原因有三： 1)CNN无法处理Non

拉普拉斯矩阵 图论的数学领域中的拉普拉斯矩阵（也被称为导纳矩阵，吉尔霍夫矩阵或离散拉普拉斯）是图的矩阵表示。 拉普拉斯矩阵 结合 吉尔霍夫理论 可以用来计算图的最小生成树的个数。拉普拉斯矩阵还可用来寻找图的其他属性：谱图理论spectral graph theory. 黎曼几何的Cheeger不等式有涉及了拉普拉斯矩阵的离散模拟。这或许是谱图理论中最重要的定理也是在算法应用中最有用的facts.它通过拉普拉斯矩阵的第二特征值来近似图的最小割。 拉普拉斯矩阵是 度矩阵 和 邻接矩阵的差。度矩阵是一个对角矩阵，其包含了每个顶点的度。在处理有向图时，根据应用来选择入度或出度。 属性： 1.拉普拉斯矩阵是半正定矩阵。 2.特征值中0出现的次数就是图连通区域的个数。 3.最小特征值永远是0，因为每个拉普拉斯矩阵对应特征向量[1,1,1,1,...,1]Lv=0. 4.最小的非0特征值称为谱隙spectral gap. 5. 6.最小非零特征值是图的代数连通度。 散射矩阵 假设散射源为很好的定域散射源，与被散射粒子的相互作用局限在有限的空间范围内，那么，无穷远时间以前粒子处于一个自由态，称为入态，记为|Ψ>in；无穷远时间之后粒子也是处于一个自由态，称为出态，记为 |Ψ>out。 入态到初态，相互作用可以用一个矩阵描述，记为S，那么就有： |Ψ>out=S |Ψ>in 奇异矩阵 　

graph Laplacian 拉普拉斯矩阵 拉普拉斯矩阵是个非常巧妙的东西，它是描述图的一种矩阵，在降维，分类，聚类等 机器学习 的领域有很广泛的应用。 什么是拉普拉斯矩阵 拉普拉斯矩阵 　　先说一下什么是拉普拉斯矩阵，英文名为Laplacian matrix，其具体形式得先从图说起，假设有个无向图如下所示， 　　 　　其各个点之间的都有相应的边连接，我们用某个指标（这地方可以任意选择，比如欧氏距离、测地距离、或者高斯相似度等）来衡量两个点的相似度，表示为，没有边连接的其相似度自然为零，是个对称矩阵；某个点的与所有点的相似度之和，表示为；是个对角阵；我们的拉普拉斯矩阵则是 拉普拉斯矩阵的性质 　　性质： 　　（1）是半正定矩阵。 　　（2）的最小特值为0，对应特向为全1列向量。 　　（3）对有个非负实特征值，. 　　（4）对于任意一个属于实向量，都有此公式成立： 　　 　　它又有什么用处呢？跟目标是有关系的，哈哈~ 　　证明如下：　　为的实数列向量 　　 　　 　　 　　因为所以 　　　　 　　 　　 　　 拉普拉斯特征映射 　　拉普拉斯特征映射将处于流形上的数据，在尽量保留原数据间相似度的情况下，映射到低维下表示。 　　其步骤如下： 　　1. 构造近邻图（用近邻图图近似流形） 　　　　1.1 近邻条件， 表示第个样本。 　　　　1.2 K近邻 　　2. 计算边权重

3.3 为什么GCN要用拉普拉斯矩阵？ 拉普拉斯矩阵是对称矩阵，可以进行特征分解（谱分解），这与GCN的spectral domain相对应 通过拉普拉斯算子可以与拉普拉斯矩阵进行类比 由于卷积在傅里叶域的计算相对简单，为了在graph上做傅里叶变换，需要找到graph的连续的正交基对应于傅里叶变换的基，因此要使用拉普拉斯矩阵的特征向量。 来源： https://www.cnblogs.com/yyl424525/p/11386060.html