拉普拉斯矩阵是个非常巧妙的东西，它是描述图的一种矩阵，在降维，分类，聚类等机器学习的领域有很广泛的应用。
什么是拉普拉斯矩阵
拉普拉斯矩阵
先说一下什么是拉普拉斯矩阵，英文名为Laplacian matrix，其具体形式得先从图说起，假设有个无向图如下所示，
其各个点之间的都有相应的边连接，我们用某个指标（这地方可以任意选择，比如欧氏距离、测地距离、或者高斯相似度等）来衡量两个点的相似度，表示为，没有边连接的其相似度自然为零，是个对称矩阵；某个点的与所有点的相似度之和，表示为；是个对角阵；我们的拉普拉斯矩阵则是
拉普拉斯矩阵的性质
性质：
（1）是半正定矩阵。
（2）的最小特值为0，对应特向为全1列向量。
（3）对有个非负实特征值，.
（4）对于任意一个属于实向量，都有此公式成立：
它又有什么用处呢？跟目标是有关系的，哈哈~
证明如下： 为的实数列向量
因为所以
拉普拉斯特征映射
拉普拉斯特征映射将处于流形上的数据，在尽量保留原数据间相似度的情况下，映射到低维下表示。
其步骤如下：
1. 构造近邻图（用近邻图图近似流形）
1.1 近邻条件， 表示第个样本。
1.2 K近邻
2. 计算边权重（即样本间相似度）
2.1 热核
2.2 简单形式
3. 特征映射
求解；广义特征值问题。
得到解如下：（特向和特值）
取小的前个来嵌入到维欧氏空间里。
至于为神马，愣是没有看出所以然来，哎~
倒腾了一大通，终于把为什么目标等价于给搞明白了。
具体解释如下图所示：（左侧是基本思路，中间是核心推导，右侧是直观理解）
但是还有个问题没有解决，就是为什么等价于，并且转换成立找最小的广义特征值？
只能从直觉上理解，可以化为的样子，最小化这个平方和的式子，也就是最小化其系数和，也就是最小化特值，也就是找对应特向。拉普拉斯矩阵是实对称矩阵，不同特值对应正交特向，可以通过正交变换（此处用到了特向）得到形如平方和的标准二次型。
为什么是用广义特征值没有搞懂，囧？
拉普拉斯映射就是直接在低维下找到样本，使得所有样本保持原来的相似度。
应用于降维
求解广义特征向量，取前几个非零最小特值对应的特向，即为原数据在低维下的表示。
应用于聚类
三个概念：
（1）对于邻接矩阵，定义图中A子图与B子图之间的所有边的权重之和为：
为所有边的权重，及样本间相似度矩阵。
（2）与某点的所有边的权重和定义为该顶点的度
（3）Graph Cut，就是把一个图的一些边切断，把一个图变为若干独立的子图，而这些被切断的边的权重之和称为Cut值。
对于如下图，我们想找到某个割把整个图分成两个子图。
上面的割会把孤立节点分割出来，为避免这种情况，出现了RatioCut以及NormalizedCut：
其中表示中节点的数目，，此两者都可以算作的大小的一种度量。
谱聚类，由最小割入手，转换到最小化二次型求解，其中包含了拉普拉斯映射降维的思想。
例如，取
则
这里跟上面的一样了。这里做了松弛处理，即q不再是取值为某两个值了，而是任意实数。
Rayleigh quotient(瑞利商)
其最大值和最小值分别等于矩阵最大和最小的特值分别对应的特向。
因此，最小化割问题，也就变成了找的非零最小特值对应特向的问题了。求解特向：，排序特值，选择特向，传统聚类方法开搞。
我们想把原图分成两个子图，肯定找到一个最小割对应的特向即可，那么要是想分成3个子图，那就需要最小割和次小割所对应的特向解即可。（这个地方这样理解会直观一些，最小割对应的特向是降维后包含分割为两个子图的信息，而最小割加次小割对应的特向则是包含分割为3个子图的信息）聚几类，则取前几个最小非零特值对应的特向的意义就在于此。
谱图理论需要找个时间看看。
小结
1）拉普拉斯矩阵是一种图的矩阵表示。
2）拉普拉斯映射是在保持原流形数据相似度的情况下，直接降维到低维空间。
3）谱聚类是通过最小割，刚好借助了拉普拉斯映射的思想，从而用携带切割信息的特向来表征原流形数据，再去聚类。（相比于传统聚类，谱聚类更侧重于数据相似度信息的保留，更具有针对性，计算效率也更高）
三者紧密联系，又不能混为一谈。
几个参考：
1）化二次型为标准型
http://student.zjzk.cn/course_ware/web-gcsx/gcsx/chapter5/chapter5_2_1.htm
2）一个关于拉普拉斯矩阵的博客
http://blog.sciencenet.cn/blog-261330-751483.html
3）一个谱聚类的博客
http://blog.pluskid.org/?p=287
4）广义特征值的介绍
http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:_85fSHsIv3MJ:https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%25E7%2589%25B9%25E5%25BE%2581%25E5%2590%2591%25E9%2587%258F+&cd=1&hl=zh-CN&ct=clnk&gl=cn&lr=lang_en%7Clang_zh-CN%7Clang_zh-
转自：http://blog.csdn.net/yujianmin1990/article/details/48420483，感谢分享！