回溯法

又回到最初的起点，通向未来的路不只一条 ——算法第五章总结 软三 杨伟耿 20181003083 一、 见招拆招，百试不爽 回溯法——“通用的解题法”，也就是系统地搜索一个问题的所有解或任一解，它是一个既带有系统性又带有跳跃性的搜素算法——深度搜索！ 在我自己的认知下，回溯法的模板就像一棵树，然后不断选择每一层的结点，遇到不满足的条件就返回上一个结点选择别的数据作结点再继续。深度搜索，遍历所有解法，总会得到正解！短板：时间复杂度高！所以这时候就需要用到“约束函数”、“限界函数”来减少一些没必要和重复的工作。 二、 “子集和”问题 5-1 子集和问题 (25分) 设集合S={x1,x2,…,xn}是一个正整数集合，c是一个正整数，子集和问题判定是否存在S的一个子集S1，使S1中的元素之和为c。试设计一个解子集和问题的回溯法。 输入格式: 输入数据第1行有2个正整数n和c，n表示S的大小，c是子集和的目标值。接下来的1行中，有n个正整数，表示集合S中的元素。 是子集和的目标值。接下来的1 行中，有n个正整数，表示集合S中的元素。 输出格式: 输出子集和问题的解，以空格分隔，最后一个输出的后面有空格。当问题无解时，输出“No Solution!”。 输入样例: 在这里给出一组输入。例如： 5 10 2 2 6 5 4 输出样例: 在这里给出相应的输出。例如： 2 2 6 解空间结构

问题描述： 有八个皇后（可以当成八个棋子），如何在 8*8 的棋盘中放置八个皇后，使得任意两个皇后都不在同一条横线、纵线或者斜线上 做法： 从第一行开始，一行一行地考虑，这样起码可以保证皇后不在同一行； 考虑下面的每一行的时候，需要让新增加的棋子不在前面添加的棋子的左下、正下、右下，即新增加的棋子的列不等于前面棋子的列，它的行号+列号不等于前面棋子的行号加列号（不在左下），|行号-列号|不等于之前棋子的|行号-列号|（不在右下）； 如果该行所有位置都不符合要求，则回溯到前一行，改变皇后的位置，继续试探； 如果试探到最后一行，所有皇后摆放完毕，则直接打印出 8*8 的棋盘。最后一定要记得将棋盘恢复原样，避免影响下一次摆放。 程序代码： /*回溯法，8皇后问题*/ #include<stdio.h> #include<iostream> #include<cmath> #include<math.h> using namespace std; int weizhi[8]={0};//用来保存八个棋子的位置 int counts=0; bool check(int hang, int lie); void Queens(int nhang); void print(); int main() { Queens(0); cout<<"8皇后问题的解的个数为:"<<counts<<endl;

国际象棋 八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出：在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。 public class _8Queen { //回溯法，暴力解8皇后 private static int ways = 0; //返回解法个数 public static int f8queen() { int[][] board = new int[8][8]; ways = 0; p_f8queen(board, 0); return ways; } private static void p_f8queen(int[][] board, int row) { if (row > 7) { ways++; printBoard(board); //最后一行穷举完，输出棋盘 return; } for (int col = 0; col < 8; col++) { if (check(board, row, col)) { //检测是否符合规则 board[row][col] = 1; //放皇后棋子 p_f8queen(board, row + 1);//进入下一行 board[row][col] = 0; //清除 } } }

N皇后问题 递归： #include<iostream> #include<vector> #include<stack> #include<cmath> #include<cstring> using namespace std; typedef pair<int, int> P; int n,sum; vector<P> v; bool judge(int x, int y){ for (int i = 0; i < v.size(); i++){ float bioas = (v[i].second*1.0 - y*1.0) / (v[i].first*1.0 - x * 1.0); if (x == v[i].first || y == v[i].second || abs(bioas) == 1.0) return false; } return true; } void trace(int index){ if (index >= n){ sum++; for (int i = 0; i < v.size(); i++) printf("(%d, %d) ", v[i].first, v[i].second); cout << endl; return; } for (int i = 0; i < n; i++){ if (judge(index, i)){ v

# include <stdio.h> //#include <conio.h> # include <fstream> # include <iostream> # include <stdlib.h> # define N 6 //物品数量 # define M 3 using namespace std ; double dataArr [ N * M + 1 ] ; double c ; //背包容量 double v [ N + 1 ] ; //各个物品的价值 double w [ N + 1 ] ; //各个物品的重量 double cw = 0.0 ; //当前背包重量 double cp = 0.0 ; //当前背包中物品价值 double bestp = 0.0 ; //当前最优价值 int order [ N + 1 ] ; int put [ N + 1 ] ; //设置是否装入 int ans [ N + 1 ] = { 0 } ; double perp [ N + 1 ] ; void knapsack ( ) { int i , j ; int temporder = 0 ; double temp = 0.0 ; for ( i = 1 ; i <= N ; i ++ ) perp [ i ] = v [ i ] / w [ i ] ; for (

以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为回溯法。在回溯法中，解空间树主要分为了四种子集树、排列树、n叉树和不确定树。 在《算法设计与分析课本》中介绍了11个回溯法的问题样例，这里根据解空间树的类型做一个分类。 子集树 装载问题 符号三角形问题 0-1背包问题 最大团问题 算法模板： void backtrack(int t) { if(搜索到叶子结点) { return; } for(i=0; i<=1; i++) //01二叉树 { if(满足约束函数和限界函数)//剪枝 { backtrack(t+1); } } } 排列树 批处理作业调度 旅行售货员问题 圆排列问题 电路板排列问题 算法模板： void backtrack(int t) { if(搜索到叶子结点) { return; } for(i=0; i<=n; i++) { if(满足约束函数和限界函数)//剪枝 { swap(x[t],x[i]); backtrack(t+1); swap(x[t],x[i]); } } } n叉树 n后问题 图的m着色问题 算法模板： void backtrack(int t) { if(搜索到叶子结点) { return; } for(i=1; i<=n; i++) //n叉树 { x[t]=i;//例如n后问题中，记录第t后所在的第i列 if(满足约束函数和限界函数)//剪枝 {

上两天学习的回溯算法，老师让我们回溯法来解决01背包问题， 经过了几天的改改增增，终于实现成功了。 自我感觉回溯算法思想，从左到右，一步一步，能走则走，不能则过！ 下面直接贴代码，代码上详细注释！ import java.util.Arrays; /** * 回溯法的01背包 * * @author anLA * */ public class BagFBack { private MyElement[] myelements; // 封装的物品 private float s; // 背包容量 private float nowWeight = 0; // 记录当前以拿重量 private float nowPrice = 0; // 记录当前以拿价格 private float betterValue; // 记录最多的价格 /* * 构造方法，用于初始化各个变量 */ public BagFBack(float[] w, float[] v, float s) { myelements = new MyElement[w.length]; for (int i = 0; i < w.length; i++) { myelements[i] = new MyElement(); myelements[i].v = v[i]; myelements[i].w = w[i]; }

关于回溯法的概念，这篇文章讲的比较通俗易懂： https://blog.csdn.net/jarvischu/article/details/16067319 贴出阅读这篇文章后解决01背包问题的Java代码，注释中加入了自己的理解 package com.zxg.algorithm.backtrack; /** * 回溯法解01背包问题 * 背包问题的概念不再赘述。这里主要讲解下回溯法思路。 * 将每一个物品分为装载和不装载两条路径，一个接一个的遍历，每遍历一个物品就会产生两条分支 * 那么就会组成一棵树，深度遍历这棵树，找出最优解 * 参考：https://blog.csdn.net/jarvischu/article/details/16067319 */ public class PackageQuestion { public int[] weight; public int[] value; public int[] take; int curWeight = 0; int curValue = 0; int bestValue = 0; int[] bestChoice; int count; int maxWeight = 0; public void init(int[] weight, int[] value, int maxWeight) { if

回溯法解题思路： （1）针对所给问题，定义问题的解空间； 　　 （2）确定易于搜索的解空间结构； 　　 （3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。 八皇后问题： 八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出：在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。 图解回溯法解八皇后问题： 回溯法解N皇后问题 1 、使用一个一维数组表示皇后的位置， 其中数组的下标表示皇后所在的行， 数组元素的值表示皇后所在的列。 2 、假设前n- 1 行的皇后已经按照规则排列好， 那么可以使用回溯法逐个试出第n行皇后的合法位置， 所有皇后的初始位置都是第 0 列， 那么逐个尝试就是从 0 试到 N - 1 ， 如果达到 N ，仍未找到合法位置， 那么就置当前行的皇后的位置为初始位置 0 ， 然后回退一行，且该行的皇后的位置加 1 ，继续尝试， 如果目前处于第 0 行，还要再回退，说明此问题已再无解。 3 、如果当前行的皇后的位置还是在 0 到 N - 1 的合法范围内， 那么首先要判断该行的皇后是否与前几行的皇后互相冲突， 如果冲突，该行的皇后的位置加 1 ，继续尝试， 如果不冲突，判断下一行的皇后， 如果已经是最后一行，说明已经找到一个解

1.1.2 算法设计基本方法 计算机解题的过程实际上是在实施某种算法，这种算法称为计算机算法。 常用算法设计方法： （1） 列举法 列举法的基本思想是，根据提出的问题，列举所有可能的情况，并用问题中给定的条件检验哪些是需要的，哪些是不需要的。 列举法的特点是算法比较简单。但当列举的可能情况较多时，执行列举算法的工作量将会很大。 在用列举法设计算法时，使方案优化，尽量减少运算工作量，是应该重点注意的。 在设计列举算法时，只要对实际问题进行详细的分析，将与问题有关的知识条理化、完备化、系统化，从中找出规律；或对 所有可能的情况进行分类，引出一些有用的信息，是可以大大减少列举量的。 列举算法是计算机算法中的一个基础算法。 （2） 归纳法 归纳法的基本思想是，通过列举少量的特殊情况，经过分析，最后找出一般的关系。 归纳就是通过观察一些简单而特殊的情况，最后总结出一般性的结论。 （3） 递推 所谓递推，是指从已知的初始条件出发，逐次推出所要求的各中间结果和最后结果。 其中初始条件或是问题本身已经给定，或是通过对问题的分析与化简而确定。 递推关系式往往是归纳的结果。 （4） 递归 人们在解决一些复杂问题时，为了降低问题的复杂程度（如问题的规模等），一般总是将问题逐层分解，最后归结为一些最简单 的问题。这种将问题逐层分解的过程，实际上并没有对问题进行求解，而只是当解决了最后那些最简单的问题后