傅里叶变换

两种运动检测算法的介绍： 帧差法： 帧差法是目前运动目标检测中最常用的算法。帧差法依据的原则是：当视频中存在移动物体的时候，相邻帧（或相邻三帧）之间在灰度上会有差别，求取两帧图像灰度差的绝对值，则静止的物体在差值图像上表现出来全是0，而移动物体特别是移动物体的轮廓处由于存在灰度变化为非0，当绝对值超过一定阈值时，即可判断为运动目标，从而实现目标的检测功能。 二维频域运动目标检测： 通过对动态图像的行列分解, 将三维频域内的运动检测问题转化到两组二维频域内进行, 从而降低了滤波器设计的难度。给出了一种提取主运动能量的自适应滤波算法, 通过剔除背景和噪声的频率成分, 有效地检测出运动目标。 复杂度分析： 针对帧差法进行分析，代码复杂度主要集中在absdiff与findContours部分，其中absdiff的迭代次数为2*500*500=50000次，时间为88.46ms(取两百帧计算平均的时间) 针对二维频域运动目标检测算法，这里有两个代码版本： 针对py-new-fuliye.py，代码的复杂度主要集中在两个部分：傅里叶变换以及遍历，在py-new-fuliye.py中，共使用了两次傅里叶变换与两次遍历，遍历的迭代次数次数为2*50*30=300次，时间为：54.175ms 针对pepoplefft.py（改进版）进行分析，使用了两次傅里叶变换（一次正一次逆），进行了一次嵌套遍历

“ 傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。 ” 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。 理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话 ，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。

章节 SciPy 介绍 SciPy 安装 SciPy 基础功能 SciPy 特殊函数 SciPy k均值聚类 SciPy 常量 SciPy fftpack(傅里叶变换) SciPy 积分 SciPy 插值 SciPy 输入输出 SciPy 线性代数 SciPy 图像处理 SciPy 优化 SciPy 信号处理 SciPy 统计 SciPy提供了fftpack模块，包含了傅里叶变换的算法实现。 傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。傅里叶变换把信号从时域变换到频域，以便对信号进行处理。傅里叶变换在信号与噪声处理、图像处理、音频信号处理等领域得到了广泛应用。 如需进一步了解傅里叶变换原理，可以参考相关资料。 快速傅里叶变换 计算机只能处理离散信号，使用离散傅里叶变换(DFT) 是计算机分析信号的基本方法。但是离散傅里叶变换的缺点是：计算量大，时间复杂度太高，当采样点数太高的时候，计算缓慢，由此出现了DFT的快速实现，即快速傅里叶变换FFT。 快速傅里叶变换（FFT）是计算量更小的离散傅里叶变换的一种实现方法，其逆变换被称为快速傅里叶逆变换（IFFT）。 示例 print(fft(np.array([4., 3., 5., 10., 5., 3.]))) 先对数据进行fft变换，然后再ifft逆变换。 import numpy as np

前面有提到音频采样算法： WebRTC 音频采样算法 附完整C++示例代码 简洁明了的插值音频重采样算法例子 (附完整C代码) 近段时间有不少朋友给我写过邮件，说了一些他们使用的情况和问题。 坦白讲，我精力有限，但一般都会抽空回复一下。 大多数情况，阅读一下代码就能解决的问题， 也是要尝试一下的。 没准，你就解决了呢？ WebRtc的采样算法本身就考虑到它的自身应用场景， 所以它会有一些局限性，例如不支持任意采样率等等。 而简洁插值的这个算法， 我个人也一直在使用，因为简洁明了，简单粗暴。 我自然也就没有进一步去细究采样算法， 当然网上还有不少开源的采样算法也是极其不错的。 一直也想抽时间再做一个兼顾简洁和质量的算法出来，不了了之。 最近一直在死磕傅里叶变换，网上的资源看了一箩筐。 徘徊到最后，毫无疑问FFTW3必须是你的首选， 从岁数性能以及使用的概率来说，当之无愧的王者。 当然也顺带整理一下，其他的一些FFT实现，各有优劣。 用于学习，作为参考资料也是不二之选。 有兴趣的小伙伴，可以参阅之. https://github.com/cpuimage/StockhamFFT https://github.com/cpuimage/uFFT https://github.com/cpuimage/BluesteinCrz https://github.com/cpuimage

数字信号处理的主要 数学工具 是傅里叶变换．而傅里叶变换是研究整个 时间域 和 频率域 的关系。不过，当运用计算机实现工程 测试信号处理 时，不可能对无限长的信号进行测量和运算，而是取其有限的时间片段进行分析。做法是从信号中截取一个时间片段，然后用截取的信号时间片段进行 周期延拓 处理，得到虚拟的无限长的信号，然后就可以对信号进行傅里叶变换、相关分析等数学处理。无限长的信号被截断以后，其频谱发生了畸变，原来集中在f(0)处的能量被分散到两个较宽的频带中去了（这种现象称之为频谱能量泄漏）。 文章来源: 窗函数

写在前面的话，这个博文是我写的时间最长的，字数最多的了，从昨天开始就在看傅里叶变换了，看了很多大神的文章，也学到了很多知识，一度觉得有那么多前辈的文章，我还写它干嘛，反正也是抄一遍。不过想起以前的经历，看了那么多书，一两个月一过就全部还给作者了，所以还是要静心自己写一遍。纸上得来终觉浅，方知此事要躬行。 先推荐一下大佬的文章： 傅里叶变换详解 ，这篇文章原理讲的很详细，很有趣。 傅里叶变换代码 ，这篇文章对代码层面讲的很详细。所以如果大家觉得我的文章不好看，可以移步两位前辈的博客，肯定会满意的。 一、傅里叶变换 傅里叶变换可以将一副图片分解为正弦和余弦两个分量，换言之，它可以将一幅图像从空间域（spatial domain）转换为频域（frequency domain）。这种变换的思想是任何函数可以很精确的接近无穷个sin()函数和cos()函数的和。 我们来梳理一下概念： 空间域 一般情况下，空间域的图像是f(x, y) = 灰度级（0-255），形象一点就是一个二维矩阵，每一个坐标对应一个颜色值。 频率域 频率：对于图像来说就是指图像颜色值的梯度，即灰度级的变化速度 幅度：可以简单的理解为是频率的权，即该频率所占的比例 对于一个正弦信号，如果它的幅度变化很快，我们称之为高频信号，如果变化非常慢，我们称之为低频信号。迁移到图像中，图像哪里的幅度变化非常大呢？边界点或者噪声

FFT之后得到的是什么数 FFT之后得到的那一串复数是波形对应频率下的幅度特征，注意这个是幅度特征不是复制，下面要讲两个问题：1.如何获取频率，2.如何获取幅值 获取频率 FFT变换如何获取频率？傅里叶变换并没对频率进行任何计算，频率只与采样率和进行傅里叶变换的点数相关，注意这里是进行傅里叶变换的点数而不一定是信号的长度。 FFT变换完第一个数时0Hz频率，0Hz就是没有波动，没有波动有个专业一点的说法，叫直流分量。 后面第二个复数对应的频率是0Hz+频谱分辨率，每隔一个加一次，频谱分辨率Δf计算公式如下： Δf=FsN 式中： Fs为采样率 N为FFT的点数 因此只要Fs和N定了，频域就定下来了。 FFT变换后的第一个实数 - 直流分量 FFT之后的第一个结果表示了时域信号中的直流成分的多少，所谓直流信号，代表和基准0的偏移量。 上面的结果不好说明，下面再看一个例子： oneWave = [1,1,1,1,1,1,1,1];fft(oneWave) 输出： 8 0 0 0 0 0 0 0 oneWave 的直流分量是1，但计算结果是8， 这里又引入一个问题，FFT之后的数值不是真实的幅值，需要进行转转换，第一个点需要除以N，才能还原为原来的结果 FFT变换后的复数模 - 幅度 假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A 的N/2倍

傅里叶变换 傅里叶级数是针对周期性函数在时域上的展开 傅里叶变换是傅里叶级数在频域上的可视化 Key_Function Code import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x = np.linspace(0, 2 * np.pi, 30) wave = np.cos(x) transformed = np.fft.fft(wave) # 对余弦波信号应用fft函数 # ifft是fft函数的逆运算 print(np.all(np.abs(np.fft.ifft(transformed) - wave) < 10 ** -9)) # True plt.plot(transformed) plt.show() 来源：博客园 作者： draven123 链接：https://www.cnblogs.com/draven123/p/11410094.html

傅里叶变换 (FT) 是一个很重要的图像处理工具，用于将图像分解为频率组件。FT 的输出表 示频域内的图像，而输出图像等同于空间域 (x, y)。在频域图像中，每个点表示空间域中包 含的特定频率。因此，对于有很多高频组件（边缘、角落和条纹）的图像，频域中将有很多 点的频率值很高。 以下是傅里叶变换的代码： import numpy as np import matplotlib . pyplot as plt import cv2 % matplotlib inline #Read in the images image_stripes = cv2 . imread ( 'images/stripes.jpg' ) #Change color to RGB (from BGR) image_stripes = cv2 . cvtColor ( image_stripes , cv2 . COLOR_BGR2RGB ) #Read in the images image_solid = cv2 . imread ( 'images/pink_solid.jpg' ) #Change color to RGB (from BGR) image_solid = cv2 . cvtColor ( image_solid , cv2 . COLOR_BGR2RGB ) #Display

傅里叶变换的目的是可将时域（即时间域）上的信号转变为频域（即频率域）上的信号，随着域的不同，对同一个事物的了解角度也就随之改变，因此在时域中某些不好处理的地方，在频域就可以较为简单的处理。 （w代表频率，t代表时间，e^-iwt为复变函数） 傅里叶变换认为一个周期函数(信号)包含多个频率分量，任意函数（信号）f(t)可通过多个周期函数（基函数）相加而合成。 从物理角度理解傅里叶变换是以一组特殊的函数（三角函数）为正交基，对原函数进行线性变换，物理意义便是 原函数在各组基函数的投影 。 我们先从函数f(t)为周期性函数推导，之后推导非周期性函数的傅里叶变换， 傅里叶公式一般就是指非周期行函数的傅里叶变换（FT） 。 （1）对于周期为1的函数f(t) ： （这里的x我接下来用t来表示） 根据欧拉公式 这里的Ck是一个复数，Ck一般称为 傅里叶系数 ，平时对频域的变换，一般改变的就是Ck。 例如这个图中频域方向上的图每个频域值为Ck的值 接下来求Ck的值 由 对函数两边积分 （上述的k指频域上的x坐标，每个k值为一种赫兹，t表示时域上的时间） 因为要模拟一个信号，信号是不能通过有限个周期函数相加而确定这样会有很大的误差，无法得到完整的近似值，于是我们便用无限的周期函数来对其近似 由此就可以看出傅里叶变换是一种时域与频域的转换关系。 （2）对于非周期函数f(t) 对于一个信号的处理