仿射变换

什么是仿射变换？ 仿射变换定义为一个线性变换加上平移变换。即： \[ g(\vec v) = f(\vec v) + \vec b \] 仿射变换的矩阵表示 \[ g(\vec v) = [x, y, z] \cdot \begin{bmatrix} f(\vec i) \\ f(\vec j) \\ f(\vec k) \end{bmatrix} + \vec b \] 这里，我们要对向量 \(\vec v = (x, y, z)\) 转换为齐次坐标 \((x,y,z,w)\) ，同样变换后的 \(g(\vec v) = (x', y', z', w)\) 也是齐次坐标。从而有： \[ \begin{align*} g(\vec v) &= [x, y, z, w] \cdot \begin{bmatrix} f(\vec i) & 0 \\ f(\vec j) & 0 \\ f(\vec k) & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + [x, y, z, w] \cdot \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \vec b & 1 \end{bmatrix} \\ &= [x, y, z, w] \cdot \begin{bmatrix} f(\vec i) & 0 \\ f(\vec j) & 0 \\ f(

图像变形背后的想法很简单。 给定两个图像 ， 我们想 通过将图像 和 混合 来创建中间图像 。 图像的混合 和 由参数控制的 是在0和1之间（ ）。 当 为0时，变形 看起来像 ，而当 为1 时 ，变形 看起来 像 。 天真的，您可以在每个像素上使用以下方程式混合图像 但是，使用上面的方程式将希拉里·克林顿国务卿和特德·克鲁兹参议员的图像 设置为0.5，会产生以下可怕结果。 产生的图像令人不安，但同时也会给您尖叫。 恳求您在融合图像之前以某种方式对齐眼睛和嘴巴。 当您尝试在不先调整思路的情况下将两种不同的政治意识形态融合在一起时，就会得到类似的令人不安的结果，但我离题了。 因此，要将图像变形 为图像， 我们需要首先在两个图像之间建立像素对应。 换句话说，对于 图像中的 每个像素 ，我们需要找到它 在图像中 的对应像素 。 假设我们神奇地找到了这些对应关系，我们可以分两步混合图像。 首先，我们需要计算 变形图像中像素 的位置 。 由下式给出 （1） 其次，我们需要 使用以下公式 找到像素的强度 （2） 而已。 我们完了。 现在，我们去投票给特朗普。 开玩笑！ 就像特朗普一样，我省略了一些重要的细节。 为图像I中的每个像素找到图像J中的对应点与在美国和墨西哥之间建立10英尺的墙一样困难。 可以做到，但是它很昂贵，并不是真正必要的。 但是很容易找到一些点对应关系。 为了使两个不同的对象

什么是仿射变换？ 原理：1、一个任意的仿射变换都能表示为 乘以一个矩阵（线性变换） 接着再 加上一个向量（平移） 2、综上所述，我们能够用仿射变换来表示： 　　1）旋转（线性变换） 　　2）平移（向量加） 　　3）缩放操作（线性变换） 事实上，仿射变换代表的是 两幅图之间的关系。 3、我们通常使用2*3矩阵来表示仿射变换： 考虑到我们要使用矩阵A和B对二维向量 做变换，所以也能表示为下列形式： 怎样才能求得一个仿射变换？ 1、我们在上文有提到过仿射变换基本表示的就是两幅图片之间的联系。关于这种联系的信息大致可以从一下两种场景获得： 　　1）我们一直 X 和 T 而且我们知道他们是有联系的，接下来我们的工作就是求出矩阵 M 　　2）我们已知 M 和 X，想要球的 T。我们只要应用算式 T = M*X 即可，对于这种联系的信息可以用矩阵 M 清晰的表达或者可以用两幅图片之间的集合关系来表达 2、因为矩阵 M 联系着两幅图片，我们以其表示两图种各三点直接的联系为例。见下图： 3、点1，2，3（在上图1中形成一个三角形）与图二中的三点一一映射，仍然形成三角形。 原文：https://www.cnblogs.com/zhibei/p/9349006.html

转载：https://blog.csdn.net/u014096352/article/details/53526747 图像的等距变换，相似变换，仿射变换，射影变换及其matlab实现 　 非常详细的一个说明，珍藏了。 今天，我们学习一下图像（2维平面）到图像（2维平面）的四种变换， 等距变换，相似变换，仿射变换，投影变换 首先介绍它的原理，最后介绍matlab的实现 1.数学基础 射影变换矩阵 H H 属于 射影群 P L ( n ) PL(n) 中的一个，仿射群是由 P L ( 3 ) PL(3) 中最后一行为 ( 0 , 0 , 1 ) (0,0,1) 的矩阵组成的 子群 ，包括 仿射群 ， ŷʽȺ ，其中欧式群是仿射群的子群，其左上角的矩阵是正交的，当它的行列式为1是称为定向欧式群，距离是欧式群的不变量，但不是相似群的不变量，而夹角是这两个群的不变量。 听了这么多群，不变量的数学概念，可能有点晕，下面我用最直观的语言解释。线性空间中的线性变换可以用矩阵来描述，因此我们用矩阵来刻画这四种变换。我们以数学系的经典代数入门教材北大版的《高等代数》为例，研究这些变换是如何进行的 2. 等距变换 等距变换（isometric transform），保持欧式距离不变，当图像中的点用齐次坐标表示时， 其中 R R 是旋转矩阵。 t t 是平移矢量，有3个自由度（1旋转角 θ θ

二维图形基本几何变换是指相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换，包括 平移 （Translate）、 比例 （Scale）、 旋转 （Rotate）、 反射 （Reflect）和 错切 （shear）5种变换。物体变换物体变换是通过变换物体上每一个顶点实现的，因此以点的二维基本几何变换为例讲解二维图形基本几何变换矩阵 。 上面讨论的五种变换给出的都是点变换的公式，对于线框模型，图形的变换实际上都可以通过点变换来完成。例如直线段的变换可以通过对两个顶点坐标进行变换，连接新顶点得到变换后的新直线段；多边形的变换可以通过对每个顶点进行变换，连接新顶点得到变换后的新多边形。曲线的变换可通过变换控制多边形的控制点后，重新绘制曲线来实现。 符合下面形式的坐标变换称为 二维仿射变换 （Affine Transformation）。 仿射变换具有平行线变换成平行线，有限点映射到有限点的一般特性。平移、比例、旋转、反射和错切五种变换都是二维仿射变换的特例，任何一组二维仿射变换总可表示为这5种变换的组合。 文章来源: 二维图形基本几何变换矩阵

其他参考： https://blog.csdn.net/candycat1992/article/details/41254799 http://www.cnblogs.com/yiyezhai/p/3176725.html 主要介绍了在计算机视觉中关于3D变换矩阵的数学方法。 旋转矩阵是一种3×3的正交矩阵， 这里R为3D的旋转矩阵，同样的，t为3D的平移矢量。 由于3D旋转都可以归结成按照某个单位向量n进行大小为θ的旋转。 所以，已知某个旋转时，可以推导出对应的旋转矩阵。该过程由罗德里格斯公式表明，由于过程比较复杂，我们在此不作赘述，只给出转换的结果：　 这里 公式虽然较为复杂，但实际写成程序后，只需知道旋转方向和角度后即可完成计算。另一件有趣的事是，如果用 表示与n对应的一个反对称矩阵，那么有： （李代数会对后面的指数形式做出解释） 根据此式，我们也可以从任意给定的旋转矩阵，求出对应的转轴与转角。关于转角θ，我们对上式两边求矩阵的迹，可得： 可得 关于转轴n，由于旋转轴上的向量在旋转后不发生改变，说明 因此，只要求此方程的解向量即可。这也说明n是R特征值为1的一个特征向量。 总之，读者应当明白在3D时，旋转和平移仍可用转移矩阵T来描述，其结构也与2D类似。而T4×4构成了三维欧氏变换群SE(3)。注意到T虽然有16个变量，但 真正的自由度只有6个，其中3个旋转，3个位移。

OpenCV学习笔记（十五）：图像仿射变换：warpAffine(),getRotationMatrix2D() 一个任意的仿射变换都能表示为乘以一个矩阵(线性变换)接着再加上一个向量(平移)的形式。 仿射变换（Affine Transformation或 Affine Map），是指在几何中**一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间的过程。**它保持了二维图形的==“平直性” （即：直线经过变换之后依然是直线）和 “平行性”==（即：二维图形之间的相对位置关系保持不变，平行线依然是平行线，且直线上点的位置顺序不变）。 那么, 我们能够用仿射变换来表示如下三种常见的变换形式： 1）旋转，rotation (线性变换) 2）平移，translation(向量加) 3）缩放，scale(线性变换) 1、warpAffine（）函数 void warpAffine ( InputArray src , // 源图像 OutputArray dst , // 函数调用后的运算结果 InputArray M , // 2×3的变换矩阵 Size dsize , // 表示输出图像的尺寸 int flags = INTER_LINEAR , // 插值方法的标识符 intborderMode = BORDER_CONSTANT , // 边界像素模式 const

Tag DirectX下的博客主要用于记录DirectX的学习过程，主要参考《DirectX 12 3D 游戏实战开发》。本篇主要是顺着DX12龙书的节奏温习线性代数中的仿射变换。 仿射变换 仿射变换是在线性变换的基础上加入平移变换得到的。之前线性变换的对象都是3维向量，向量只表示方向，对向量作平移是没有意义的，因此平移只能作用于点。齐次坐标表示法可以统一对点和向量的平移变换。 齐次坐标 在普通3维坐标的基础上加入第四维w即构成齐次坐标。参考《3D数学基础：图形与游戏开发》，可以通过“投影”来理解齐次坐标。先考虑2D的齐次坐标（x，y，w），截取w=1处的平面，对坐标系内的点作关于原点的透视投影，投影之后的坐标值为（x/w，y/w，1）。而当w=0时，除零可以看作趋于无穷，即形如（x，y，0）的点在无穷远处，此时我们用它来表示方向。类比2维，可以推出3维的情况，截取w=1处的超平面作投影即可。类似地，我们可以用（x，y，z，1）表示点，用（x，y，z，0）表示向量。 仿射变换 仿射变换即在线性变换的基础上增加一个平移变换，通常用下式表示： \[ \alpha(\vec u)=\tau(\vec u)+\vec b，\vec b为平移向量 \] 又或者：（其中，M为线性变换矩阵，b为平移变换向量） \[ \alpha(\vec u)=\vec u\times M+\vec b=[x

import cv2import numpy as npimg = cv2.imread('../img/zidan.jpg',1)imgInfo = img.shapeheight = imgInfo[0]width = imgInfo[1]matSrc = np.float32([[0,0],[0,height-1],[width-1,0]])#输入图像对应的三角形的顶点坐标matDst = np.float32([[50,50],[100,height-50],[width-200,100]])#输出图像对应的三角形顶点坐标matAff = cv2.getAffineTransform(matSrc,matDst)#由三对点计算仿射变换dst = cv2.warpAffine(img,matAff,(width,height))#对图像做仿射变换 matRotate = cv2.getRotationMatrix2D((height*0.5,width*0.5),45,0.5)#参数1：中心点 参数2：旋转角度 参数3：缩放程度dst = cv2.warpAffine(img,matRotate,(height,width))cv2.imshow('dst',dst)cv2.imshow('dst1',dst1) cv2.waitKey(0)图像仿射变换效果图;

仿射变换是一种二维坐标（x，y）到二维坐标（u，v）的线性变换。 对应的齐次坐标矩阵表示形式为： 仿射变换特点： 直线经仿射变换后依然为直线； ’直线之间的相对位置关系保持不变，平行线经仿射变换后依然为平行线，且直线上点的位置顺序不会发生变化； 非共线的三对对应点确定一个唯一的仿射变换； 经仿射变换后，图像关键点依然构成三角形，但三角形形状已经发生变化。 总结：就是乘了一个矩阵，矩阵的特征向量决定了图像变换的方向。 来源： https://www.cnblogs.com/pacino12134/p/11404762.html