二重积分

第四十六节：二重积分概念的引入：求曲顶柱体的体积 第四十七节：求薄片的质量，二重积分的定义 第四十八节：二重积分的几何意义、物理意义，可积的充分条件，二重积分的性质 第四十九节：二重积分的性质（续），x-型区域与y-型区域 第五十节：二重积分计算的方法与例题 来源： CSDN 作者： Major_s 链接： https://blog.csdn.net/qq_41375318/article/details/103729120

1. 二重积分 1.1 定义和性质 　　一元定积分的概念可以推广到空间中，不同的是曲线\(y=f(x)\)换成了曲面\(z=f(x,y)\)，曲面在\(xy\)平面上的投影\(D\)即为定义域。为求得曲面和\(D\)之间柱体\(\Omega\)的体积，可以将\(D\)划分为若干区域\(D_1,D_2,\cdots,D_n\)。设所有区域最大直径为\(d\)，且各区域的面积为\(\varDelta\sigma_i\)，在某个区域任取\((\xi_i,\eta_i)\in D_i\)，则式（1）称为一个 积分和 。若\(\lim\limits_{d\to 0}\omega\)的极限存在，则称\(f(x,y)\)为\(D\)上的 可积函数 ，并称极限为\(f(x,y)\)在\(D\)上的 二重积分 （式（2））。 \[\omega=\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\varDelta\sigma_i\tag{1}\] \[\iint_Df(x,y)\,\text{d}\sigma=\iint_Df(x,y)\,\text{d}x\,\text{d}y=\lim\limits_{d\to 0}\omega\tag{2}\] 　　若记分割\(\pi\)下积分和的上、下确界分别是\(S(\pi),s(\pi)\)，它们和一元积分中的性质完全一样