对称矩阵

日萌社 人工智能AI：Keras PyTorch MXNet TensorFlow PaddlePaddle 深度学习实战（不定时更新） 矩阵的高级函数：基于SVD算法(即奇异值分解法)的矩阵分解、通过SVD算法(即奇异值分解法)/特征值分解法来实现PCA算法、随机数矩阵 1.对称矩阵 2.方阵、逆矩阵 X是一个m行n列的矩阵，并不能保证其有逆矩阵，因此X需要乘以X的转置，即X乘以自身的转置矩阵，其结果为一个方阵， 方阵即行数和列数都为一样，这样便能保证其矩阵X有逆矩阵。 X是一个m行n列的矩阵，X的转置(自身的转置矩阵)是一个n行m列的矩阵，那么两者相乘结果为m行m列的方阵，方阵即行数和列数都为一样。 X是一个n行m列的矩阵，X的转置(自身的转置矩阵)是一个m行n列的矩阵，那么两者相乘结果为n行n列的方阵，方阵即行数和列数都为一样。 求X乘以X的转置的逆矩阵，即求X的方阵的的逆矩阵。 3.协方差矩阵 1.PCA算法中求协方差矩阵 2.特征脸法： 1.特征脸法是一种相对“古老”的人脸识别算法，而特征脸法的核心算法是PCA算法。 2.特征脸法中的经过零均值化处理后的m行n列图像矩阵： m为人脸图像的维度，n为人脸图像的样本数，行数为人脸图像的flatten后的维度数，列数为数据集的人脸图像的样本数， 人脸图像的flatten后向量作为列向量。 3

对称矩阵的判定 Time Limit: 1000 ms Memory Limit: 65536 KiB Problem Description 输入矩阵的行数，再依次输入矩阵的每行元素，判断该矩阵是否为对称矩阵，若矩阵对称输出“yes"，不对称输出”no“。 Input 输入有多组，每一组第一行输入一个正整数N（N<=20），表示矩阵的行数（若N=0，表示输入结束）。 下面依次输入N行数据。 Output 若矩阵对称输出“yes"，不对称输出”no”。 Sample Input 3 6 3 12 3 18 8 12 8 7 3 6 9 12 3 5 8 12 6 3 0 Sample Output yes no Hint Source #include<stdio.h> int main ( ) { int n,i,j,f ; int a [ 30 ] [ 30 ] ; while ( scanf ( "%d" , & n ) != EOF && ( n != 0 )) { f = 1 ; for ( i = 0 ; i < n ; i++ ) { for ( j = 0 ; j < n ; j++ ) { scanf ( "%d" , & a [ i ] [ j ] ) ; } } for ( i = 0 ; i < n ; i++ ) { for ( j = 0 ; j < n

对称矩阵的判定 Problem Description 输入矩阵的行数，再依次输入矩阵的每行元素，判断该矩阵是否为对称矩阵，若矩阵对称输出“yes"，不对称输出”no“。 Input 输入有多组，每一组第一行输入一个正整数N（N<=20），表示矩阵的行数（若N=0，表示输入结束）。 下面依次输入N行数据。 Output 若矩阵对称输出“yes"，不对称输出”no”。 Sample Input 3 6 3 12 3 18 8 12 8 7 3 6 9 12 3 5 8 12 6 3 0 Sample Output yes no # include <stdio.h> # include <stdlib.h> int main ( ) { int a [ 20 ] [ 20 ] , n , i , j , flag ; while ( ~ scanf ( "%d" , & n ) && n != 0 ) { flag = 1 ; for ( i = 1 ; i <= n ; i ++ ) { for ( j = 1 ; j <= n ; j ++ ) { scanf ( "%d" , & a [ i ] [ j ] ) ; } } for ( i = 1 ; i <= n ; i ++ ) { for ( j = 1 ; j <= n ; j ++ ) { if ( a [ i ] [

对称矩阵的一些性质： 1：对称矩阵的特征值为实数 2：设 λ 1 λ 1 和 λ 2 λ 2 是对称矩阵 A A 的两个特征值， p 1 p 1 ， p 2 p 2 是对应的特征向量，若 λ 1 ≠ λ 2 λ 1 ≠ λ 2 ,则 p 1 p 1 和 p 2 p 2 正交 定理： 设 A A Ϊ n n 阶对称矩阵，则必有正交矩阵 P P 使得， P 1 A P = P T A P = ∧ P 1 A P = P T A P = ∧ 其中 ∧ ∧ 是以 A A 的 n n 个特征值为对角元的对角矩阵 推论： 设 A A Ϊ n n 阶对称矩阵， λ λ 是 A A 的特征方程的 k k 重根，则矩阵 A λ E A λ E 的秩 R ( A λ E ) = n k R ( A λ E ) = n k ，从而对应的特征值 λ λ 恰好有 k k 个线性无关的特征向量。 文章来源: 对称矩阵的对角化

from: https://www.cnblogs.com/marsggbo/p/10152644.html#autoid-4-0-0 https://www.cnblogs.com/marsggbo/p/10156077.html 1 | 0 I. 行列式(Determinants)和迹(Trace) 1 | 1 1. 行列式(Determinants) 为避免和绝对值符号混淆，本文一般使用 𝑑 𝑒 𝑡 ( 𝐴 ) det(A)来表示矩阵 𝐴 A的行列式。另外这里的 𝐴 ∈ 𝑅 𝑛 × 𝑛 A∈Rn×n默认是方阵，因为只有方阵才能计算行列式。 行列式如何计算的就不在这里赘述了，下面简要给出行列式的各种性质和定理。 定理1 ：当且仅当一个方阵的行列式不为0，则该方阵可逆。 定理2 ：方阵 𝐴 A的行列式可沿着某一行或某一列的元素展开，形式如下: 沿着第 𝑖 i行展开: 𝑑 𝑒 𝑡 ( 𝐴 ) = ∑ 𝑘 = 1 𝑛 ( − 1 ) 𝑘 + 𝑖 𝑎 𝑖 𝑘 𝑑 𝑒 𝑡 ( 𝐴 𝑖 , 𝑘 ) det(A)=∑k=1n(−1)k+iaikdet(Ai,k) 沿着第 𝑖 i列展开: 𝑑 𝑒 𝑡 ( 𝐴 ) = ∑ 𝑘 = 1 𝑛 ( − 1 ) 𝑘 + 𝑖 𝑎 𝑘 𝑖 𝑑 𝑒 𝑡 ( 𝐴 𝑘 , 𝑖 ) det(A)=∑k=1n(−1)k+iakidet(Ak,i) 定理3

合同:同一个二次型在不同坐标系下的 两个位置→这两个位置叫合同。 Q T AQ = ∧ → A 与 ∧ 合同 Q -1 AQ = ∧ → A 与 ∧ 相似 A、B还是实对称矩阵的时候，相似 必 合同。 合同 不一定 相似。 矩阵论计算法方法 ----图一来自宇哥《闭关修炼》 来源： https://www.cnblogs.com/LinQingYang/p/11694904.html

1.对称矩阵 特点： 关于对角线对称，Aij == Aji。 下面实现： ①对称矩阵的压缩存储 ②对称矩阵的访问 ③对称矩阵的还原 实现代码如下： #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1 #include<iostream> using namespace std ; //对称矩阵的压缩存储 template < class T> class SymmetricMatrix { public : SymmetricMatrix(T* array , size_t N) :_N(N) ,_a(NULL) { _a = new T[(N * (N + 1 ))>> 1 ]; for (size_t i = 0 ; i < N; ++i) { for (size_t j = 0 ; j < N; ++j) { if (i >= j) //表明是下三角数据时 { _a[(i * (i + 1 ))>> 1 + j] = array [i * N + j]; } else { break ; } } } } T& Access(size_t x, size_t y) { if (x < y) //如果访问上三角元素 { swap(x, y); } return _a[(x * (x + 1 )) >> 1 + y]; } void DisPlay() { for

同时合同对角化问题 Theorem： 设$A$是$n$阶正定实对称矩阵，$B$为同阶的实对称矩阵，则必存在可逆矩阵$C$，使得 \[C'AC=I_n,C'BC=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}\] 其中$\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}$为矩阵$A^{-1}B$的特征值. Proof： 由于$A$为正定的，则存在可逆矩阵$P$，使得$P'AP=I_n$.由于矩阵$P'BP$为实对称矩阵，则存在正交矩阵$Q$，使得$Q'(P'BP)Q=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}$. 令$C=PQ$，则满足$C'BC=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}$.由于 \[C'(\lambda A-B)C=\lambda I_n-C'BC=diag\{\lambda-\lambda_1,\cdots,\lambda-\lambda_n\}\] 则$\lambda_i$为多项式$|\lambda A-B|$的根，又$A$可逆，则也为$|\lambda I_n-A^{-1}B|$的根. 利用上述Theorem证明几个例子： Example 1： 设$A$为$n$阶正定实对称矩阵，$B$为同阶半正定实对称矩阵，则$|A+B|\geq |A|+|B|$，等号成立的充要条件是$B