同时合同对角化问题
Theorem：
设$A$是$n$阶正定实对称矩阵，$B$为同阶的实对称矩阵，则必存在可逆矩阵$C$，使得
\[C'AC=I_n,C'BC=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}\]
其中$\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}$为矩阵$A^{-1}B$的特征值.
Proof：
由于$A$为正定的，则存在可逆矩阵$P$，使得$P'AP=I_n$.由于矩阵$P'BP$为实对称矩阵，则存在正交矩阵$Q$，使得$Q'(P'BP)Q=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}$.
令$C=PQ$，则满足$C'BC=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}$.由于
\[C'(\lambda A-B)C=\lambda I_n-C'BC=diag\{\lambda-\lambda_1,\cdots,\lambda-\lambda_n\}\]
则$\lambda_i$为多项式$|\lambda A-B|$的根，又$A$可逆，则也为$|\lambda I_n-A^{-1}B|$的根.
利用上述Theorem证明几个例子：
Example 1：
设$A$为$n$阶正定实对称矩阵，$B$为同阶半正定实对称矩阵，则$|A+B|\geq |A|+|B|$，等号成立的充要条件是$B=O$.
Proof：
依Theorem知，存在可逆矩阵$C$，使得
\[C'AC=I_n,C'BC=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}\]
由于$B$半正定，故$C'BC$也为半正定的，从而$\lambda_i\geq 0$. 由于
\[|C'||A+B||C|=|C'AC+C'BC|=(1+\lambda_1)\cdots (1+\lambda_n)
\geq 1+\lambda_1\cdots\lambda_n=|C'AC|+|C'BC|=|C'|(|A|+|B|)|C|\]
故有$|A+B|\geq |A|+|B|$.等号成立当且仅当所有的$\lambda_i=0$，当且仅当$B=O$.
Remark：
对上述例题可推广为：$A$为半正定矩阵.只需使用摄动法即可证明.
Example 2：
设$A,D$为方阵，$M=\left(\begin{array}{cc}
A & B\\
B' & D\end{array}\right)$为正定实对称矩阵，求证：
$|M|\leq |A||D|$，且等号当且仅当$B=O$时成立.
Proof：
由于$A$可逆，对$M$进行初合同变换：
\[\left(\begin{array}{cc}
A & B\\
B' & D\end{array}\right)\rightarrow
\left(\begin{array}{cc}
A & B\\
O & D-B'A^{-1}B\end{array}\right)\rightarrow
\left(\begin{array}{cc}
A & O\\
O & D-B'A^{-1}B\end{array}\right)\]
故$D-B'A^{-1}B$为正定矩阵.显然有
\[\left|\begin{array}{cc}
A & B\\
B' & D\end{array}\right|=|A||D-B'A^{-1}B|\]
由于$D=(D-B'A^{-1}B)+B'A^{-1}B$，又$B'A^{-1}B$为半正定矩阵.依上述Example 1知，
\[|D|\geq |D-B'A^{-1}B|+|B'A^{-1}B|\geq |D-B'A^{-1}B|\]
等号成立当且仅当$B'A^{-1}B=O$.设存在非异实矩阵$C$，使得$A^{-1}=C'C$，则$O=B'A^{-1}B=(CB)'(CB)$，取迹得$CB=O$.由于$C$ 非异，故$B=O$.从而等号成立当且仅当$B=O$.则结论得证.
Example 3：
设$A,B$均为$n$阶正定实对称矩阵，求证
\[|A+B|\geq 2^n|A|^{\dfrac{1}{2}}|B|^{\dfrac{1}{2}}\]
等号成立的充要条件是$A=B$.
Proof：
依Theorem知，存在可逆矩阵$C$，使得
\[C'AC=I_n,C'BC=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}\]
由于$B$正定，则$C'BC$正定，从而$\lambda_i>0$.由于
\[|C'||A+B||C|=|C'AC+C'BC|=(1+\lambda_1)\cdots (1+\lambda_n)
\geq 2^n\sqrt{\lambda_1\cdots\lambda_n}=2^n|C'AC|^{\dfrac{1}{2}}|C'BC|^{\dfrac{1}{2}}
=|C'|(2^n|A|^{\dfrac{1}{2}}|B|^{\dfrac{1}{2}})|C|\]
故有$|A+B|\geq 2^n|A|^{\dfrac{1}{2}}|B|^{\dfrac{1}{2}}$.等号成立当且仅当所有的$\lambda_i=1$，当且仅当$A=B$.
Remark：
对上述例题可推广为：$A,B$为半正定矩阵.只需使用摄动法即可证明.
Example 4：
若$A,B$均为正定矩阵，且$A-B$为半正定矩阵，求证：$B^{-1}-A^{-1}$为半正定矩阵.
Proof：
依Theorem知，存在可逆矩阵$C$，使得
\[C'AC=I_n,C'BC=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}\]
由于$B$正定，则$C'BC$正定，从而$\lambda_i>0$.由于
\[C'(A-B)C=diag\{1-\lambda_1,\cdots,1-\lambda_n\}\]
又$A-B$半正定，则$\lambda_I\leq 1$，从而$\lambda_i^{-1}\geq 1$.由于
\[C^{-1}A^{-1}(C')^{-1}=I_n,C^{-1}B^{-1}(C')^{-1}=diag\{\lambda_1^{-1},\cdots,\lambda_n^{-1}\}\]
则
\[C^{-1}(B^{-1}-A^{-1})(C^{-1})'=diag\{\lambda_1^{-1}-1,\cdots,\lambda_n^{-1}-1\}\]
显然为半正定矩阵，则$B^{-1}-A^{-1}$为半正定矩阵.
Example 5：
设$A,B$是$n$阶实对称矩阵，其中$A$正定且$B$与$A-B$均为半正定矩阵.求证：$|\lambda A-B|=0$的所有根全落在$[0,1]$中，且$|A|\geq |B|$.
Proof：
依Theorem知，存在可逆矩阵$C$，使得
\[C'AC=I_n,C'BC=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}\]
其中$\lambda_i$为矩阵$A^{-1}B$的特征值，即为$|\lambda A-B|$ 的根.由于$B$半正定，则$C'BC$半正定，从而$\lambda_i\geq 0$.由于$A-B$半正定，则$C'(A-B)C=diag\{1-\lambda_1,\cdots,1-\lambda_n\}$半正定，即$\lambda_1\leq 1$.故$|\lambda A-B|$的所有根$\lambda_i$全落在$[0,1]$中.又$|A^{-1}B|=\lambda_1\cdots\lambda_n\leq 1$，故$|A|\geq |B|$.
Theorem：
设$A,B$为$n$阶半正定实对称矩阵，则存在可逆实矩阵$C$，使得
\[C'AC=diag\{1,\cdots,1,0\cdots,0\},C'BC=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_r,\lambda_{r+1},\cdots,\lambda_n\}\]
Proof：
由于$A$为半正定矩阵，则存在可逆矩阵$P$，使得$P'AP=\left(\begin{array}{cc}
I_r & O\\
O & O\end{array}\right)$，且$P'BP=\left(\begin{array}{cc}
B_{11} & B_{12}\\
B_{21} & B_{22}\end{array}\right)$为半正定矩阵.依二次型理论知，$r(B_{21}B_{22})=r(B_{22})$.即$B_{21}$的所有列向量均可表示为$B_{22}$列向量的线性组合，则存在实矩阵$M$，使得$B_{21}=B_{22}M$.对矩阵$P'AP,P'BP$进行合同变换：
\[\left(\begin{array}{cc}
I_r & -M'\\
O & I_{n-r}\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc}
B_{11} & B_{12}\\
B_{21} & B_{22}\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc}
I_r & O\\
-M' & I_{n-r}\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc}
B_{11}-M'B_{22}M & O\\
O & B_{22}\end{array}\right)\]
\[\left(\begin{array}{cc}
I_r & -M'\\
O & I_{n-r}\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc}
I_r & O\\
O & O\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc}
I_r & O\\
-M' & I_{n-r}\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc}
I_r & O\\
O & O\end{array}\right)\]
由于$B_{11}-M'B_{22}M$与$B_{22}$均为半正定矩阵，则存在正交矩阵$Q_1,Q_2$，使得
\[Q_1'(B_{11}-M'B_{22}M)Q_1=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_r\},
Q_2'B_{22}Q_2=diag\{\lambda_{r+1},\cdots,\lambda_n\}\]
令$C=P\left(\begin{array}{cc}
I_r & O\\
-M' & I_{n-r}\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc}
Q_1 & O\\
O & Q_2\end{array}\right)$，则$C$为实可逆矩阵，使得
\[C'AC=diag\{1,\cdots,1,0\cdots,0\},C'BC=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_r,\lambda_{r+1},\cdots,\lambda_n\}\]
Corollary：
设$A,B$均为$n$阶半正定实对称矩阵，则
（1）$A+B$为正定矩阵的充要条件是存在$n$个线性无关的列向量$\overrightarrow{\alpha}_1,\cdots,\overrightarrow{\alpha}_n$，以及指标集$I\subseteq\{1,2,\cdots,n\}$，使得
\[\overrightarrow{\alpha}_i'A\overrightarrow{\alpha}_j=\overrightarrow{\alpha}_i'B\overrightarrow{\alpha}_j=0(\forall i\neq j),\overrightarrow{\alpha}_i'A\overrightarrow{\alpha}_i>0(\forall i\in I),\overrightarrow{\alpha}_j'B\overrightarrow{\alpha}_j>0(\forall j\in I)\]
（2）$r(A,B)=r(A+B)$
（3）$A+B$是正定矩阵的充要条件是$r(A,B)=n$
Proof：
证明由上述Theorem是显然的.
Reference：高等代数-学习指导书（第三版）（谢启鸿）