对称矩阵的对角化

对称矩阵的一些性质：
1：对称矩阵的特征值为实数
2：设λ1${\lambda }_1$和λ2${\lambda }_2$是对称矩阵A$A$的两个特征值，p1${\mathbf{p}}_1$，p2${\mathbf{p}}_2$是对应的特征向量，若λ1≠λ2${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$,则p1${\mathbf{p}}_1$和p2${\mathbf{p}}_2$正交

定理：
设A$A$Ϊn$n$阶对称矩阵，则必有正交矩阵P$P$使得，P1AP=PTAP=∧$P^{1}AP=P^{T}AP=\mathrm{\wedge }$其中∧$\mathrm{\wedge }$是以A$A$的n$n$个特征值为对角元的对角矩阵

推论：
设A$A$Ϊn$n$阶对称矩阵，λ$\lambda$是A$A$的特征方程的k$k$重根，则矩阵AλE$A\lambda E$的秩R(AλE)=nk$R(A\lambda E)=nk$，从而对应的特征值λ$\lambda$恰好有k$k$个线性无关的特征向量。

文章来源: 对称矩阵的对角化