递归

一，题意： 　　M个苹果放在N个盘子里，允许有盘子空着，问共有多少种不同的分法。 二，思路： 　　递归的思想求解： 　　　　1，有反复执行的过程(调用本身) 　　　　　　第一种情况n>m : 必定有 n-m 个盘子空着，去掉不影响。 　　　　　　第二种情况n<=m : 　　　　　　　　i，有至少一个盘子空着; 　　　　　　　　ii，每个盘子都有苹果; 　　　　　　　　总的放苹果的方法数为两者之和： 2，有跳出反复执行过程的条件(递归出口) 　　当苹果放完或者只有一个盘子的时候 　　　*递归两条路： 　　　　i，n会逐渐减少，最终到达出口 n==1 ； 　　　　ii，m逐渐减少，因为n>m时，return work(m,m),所以终会到达出口 m==0; 三，步骤： 　　1,if(n>m) work(m,n) = work(m,m) ; 　　　else 　　　　i,work(m,n) = work(m,n-1); 　　　　ii,work(m,n) = work(m-n,n); 　　　work(m,n) = work(m,n-1) + work(m-n,n); 　　2,if(m==0||n==1) return 1; 1 #include<iostream> 2 using namespace std; 3 4 int work(int m , int n){ 5 if(m==0||n

题意：把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法。 分析：枚举每个盘子可以放的苹果数都是0~M，最后去重就可以了。 #pragma comment(linker, "/STACK:102400000, 102400000") #include<cstdio> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<cctype> #include<cmath> #include<iostream> #include<sstream> #include<iterator> #include<algorithm> #include<string> #include<vector> #include<set> #include<map> #include<stack> #include<deque> #include<queue> #include<list> #define Min(a, b) ((a < b) ? a : b) #define Max(a, b) ((a < b) ? b : a) typedef long long ll; typedef unsigned long long llu; const int INT_INF =

题目链接 ： http://poj.org/problem?id=1664 放苹果 Time Limit: 1000MS Memory Limit: 10000K Total Submissions: 37273 Accepted: 22957 Description 把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法。 Input 第一行是测试数据的数目t（0 <= t <= 20）。以下每行均包含二个整数M和N，以空格分开。1<=M，N<=10。 Output 对输入的每组数据M和N，用一行输出相应的K。 Sample Input 1 7 3 Sample Output 8解题思路：就是n个球放m个盒子的问题，采用递归的思想，定义函数func（n，m）为n个苹果放入m个盘子，可以分为两种情况：第一种，当m>n, 则总会有m-n个盒子空着，去掉他们对总的放法不产生影响，即 if(m > n) f(n, m) = f(n, n)第二种，当n<=m时，可以分为两种：　　1.至少有一个盒子空着，则 f(n, m) = f(n, m-1);　　2.所有盒子都有球，我们可以从每个盒子中拿掉一个球而不影响总的放法，则 f(n, m) = f(n-m, m);所以当n<=m时，f(n, m)=f(n, m-1)

ti 放苹果 Time Limit: 1000MS Memory Limit: 10000K Total Submissions: 24392 Accepted: 15513 Description 把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法。 Input 第一行是测试数据的数目t（0 <= t <= 20）。以下每行均包含二个整数M和N，以空格分开。1<=M，N<=10。 Output 对输入的每组数据M和N，用一行输出相应的K。 Sample Input 1 7 3 Sample Output 8ps：http://poj.org/problem?id=1664题意：略。。。详见代码。 /* 解题分析： 设f(m,n) 为m个苹果，n个盘子的放法数目，则先对n作讨论， 当n>m：必定有n-m个盘子永远空着，去掉它们对摆放苹果方法数目不产生影响。即if(n>m) f(m,n) = f(m,m)　　 当n<=m：不同的放法可以分成两类： 1、有至少一个盘子空着，即相当于f(m,n) = f(m,n-1); 2、所有盘子都有苹果，相当于可以从每个盘子中拿掉一个苹果，不影响不同放法的数目，即f(m,n) = f(m-n,n). 而总的放苹果的放法数目等于两者的和，即 f(m,n) =f(m,n-1

相互递归 都知道递归对于编程的重要性，今天就来谈谈相互递归。 若2者之间存在递推关系，则可以使用相互递归。下面举2个例子。 求pi 根据公式 # pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 -1/7 + 1/9 - ... def calPi(n): piDiv4 = 0 def neg(a): nonlocal piDiv4 if a > 1: piDiv4 -= 1/a pos(a-2) #当a<=1, 函数终结 def pos(b): nonlocal piDiv4 piDiv4 += 1/b neg(b-2) pos(n) if ( (n//2) % 2 == 0) else neg(n) print(4*piDiv4) 上面的相互递归，只要一方终结、另一方也会因此结束(此处的终结指不再return函数，结束相互递归的过程)，neg与pos的关系还能写成下面的方式： #上面是neg终结、此处是pos终结 def neg(a): nonlocal piDiv4 piDiv4 -= 1/a pos(a-2) def pos(b): nonlocal piDiv4 if b > 1: piDiv4 += 1/b neg(b-2) else: piDiv4 += 1 #终结 通常相互递归可以通过增加一个参数来抵消掉。 def calPi2(n): flag = 1 if (n//2)

题目描述 我们可以用2x1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2x1的小矩形无重叠地覆盖一个2xn的大矩形，总共有多少种方法？ 思路 可以推一下：用2x1的小矩形覆盖2x1的大矩形共1种方法，覆盖2x2的矩形共2种方法，覆盖2x3的矩形共3种方法，覆盖2x4的矩形共5种方法，可以看出方法数满足斐波那契数列。 如上图所示，把使用2x1的矩形覆盖2x8的矩形的放法数记为f(8)，则用第一个2x1的矩形覆盖时有两种放法：（1）竖着放，此时右边剩下2x7的区域，所以放法数还剩f(7)；（2）横着放，此时左下角必须再横着放一个2x1的矩形，此时还剩下2x6的区域，所以剩余放法数f(6)，所以f(8)=f(7)+f(6)。 代码如下： class Solution { public: int rectCover(int number) { if(number<1) return 0; int a[2]; a[0] = 1; a[1] = 2; if(number<=2) return a[number-1]; for(int i=2; i<number; i++){ int t = a[0] + a[1]; a[0] = a[1]; a[1] = t; } return a[1]; } }; 来源： https://www.cnblogs.com/flix/p/12572577

目录 一、递归的定义 二、递归的两个阶段 三、递归的应用 一、递归的定义 # 函数的递归调用：是函数嵌套调用的一种特殊形式 # 具体是指： # 在调用一个函数的过程中又直接或者间接地调用到本身 # 直接调用本身 def f1(): print('是我是我还是我') f1() f1() # 间接接调用本身 def f1(): print('===>f1') f2() def f2(): print('===>f2') f1() f1() # 一段代码的循环运行的方案有两种 # 方式一：while、for循环 while True: print(1111) print(2222) print(3333) # 方式二：递归的本质就是循环： def f1(): print(1111) print(2222) print(3333) f1() f1() ## 需要注意的是：递归调用不应该无限地调用下去，必须在满足某种条件下结束递归调用 二、递归的两个阶段 # 回溯：一层一层调用下去 # 递推：满足某种结束条件，结束递归调用，然后一层一层返回 age(5) = age(4) + 10 age(4) = age(3) + 10 age(3) = age(2) + 10 age(2) = age(1) + 10 age(1) = 18 def age(n): if n == 1: return

简介 所谓迷宫生成算法，就是用以生成随机的迷宫的算法 迷宫生成算法是处于这样一个场景： 一个row行，col列的网格地图，一开始默认所有网格四周的墙是封闭的 要求在网格地图边缘，也就是网格的边上打通2面墙 所有网格都至少保证网格周围至少有一堵墙打通 所有网格都能通过打通的墙能形成一条通路 博主已实现RecursiveBacktracking(递归回溯)，RecursiveSegmentation(递归分割)，随机Prim算法，Kruskal+并查集四种迷宫生成算法，这篇文章主要对这四种算法进行简要的介绍 基于Unity的迷宫生成算法代码实现 Github链接 递归回溯算法 复杂度 空间：O（n)，时间：O（n)，n为迷宫节点数row*col 原理 以一个栈作为辅助的数据结构，用以记录打通区域的顺序，用以回溯 一开始随机在地图中选择一个区域，加入栈。 之后在之前选择的区域周围随机选择一个未打通的区域，将新选择的区域和之前选择区域的墙打通，并把新的区域的加入栈 如果四周的区域都打通，就让栈出栈，将当期所选择的区域设置栈新的栈顶，表示回退到上一个区域 之后递归的按之前的步骤选择下一个区域直到所有区域都被打通 缺点 这种算法实现思路极为简单，但通路过于明显，甚至有可能会出现上图中的迷宫，很尴！！！ 递归分割算法 复杂度 递归空间复杂度：O(row * col)，最好时间复杂度：O

Python不但能非常灵活地定义函数，而且本身内置了很多有用的函数，可以直接调用。 要调用一个函数，需要知道函数的名称和参数 1、内置函数举例： 　　 1）、求绝对值的函数 abs() ，它接收一个参数 也可以在交互式命令行通过 help(abs) 查看abs函数的帮助信息。 print abs(-120) # == > 120 print abs(-120, -100) # == > TypeError: abs() takes exactly one argument (2 given) print abs('a') # == > TypeError: bad operand type for abs(): 'str' 调用函数的时候，如果传入的参数数量不对，会报TypeError的错误，并且Python会明确地告诉你：abs()有且仅有1个参数，但给出了两个 如果传入的参数数量是对的，但参数类型不能被函数所接受，也会报TypeError的错误，并且给出错误信息：str是错误的参数类型 　　 2）、比较函数 cmp(x, y) 就需要两个参数，如果 x<y，返回 -1，如果 x==y，返回 0，如果 x>y，返回 1 print cmp(1, 2) # == > -1 print cmp(2, 1) # == > 1 print cmp(2, 2) # == > 0 　　 3）

递归函数的介绍 函数的递归调用：本质是函数嵌套调用的一种特殊形式，简单的讲就是在 调用一个函数的过程中又直接或间接地调用该函数本身 直接调用函数本身 示例： def f1(): print('是我是我还是我') f1() f1() 间接调用函数本身 示例： def f1(): print('from f1') f2() def f2(): print('from f2') f1() f1() 从上面两个图可以看出，两种情况下的递归调用都是一个无限循环的过程，但在python对函数的递归调用的深度做了限制，因而并不会像大家所想的那样进入无限循环，会抛出异常，要避免出现这种情况，就 必须让递归调用在满足某个特定条件下终止 。 提示： #1. 可以使用sys.getrecursionlimit()去查看递归深度，默认值为1000，虽然可以使用 sys.setrecursionlimit()去设定该值，但仍受限于主机操作系统栈大小的限制 #2. python不是一门函数式编程语言，无法对递归进行尾递归优化。 代码循环运行的两种方式（死循环） # 方式一：while、for循环 while True: print(1111) print(2222) print(3333) # 方式二：递归的本质就是循环： def f1(): print(1111) print(2222) print