代数

复数和数域 首先，我们要引入复数，实际上，我们在中学数学中已经接触过复数了，我们知道，实数域的加法和乘法有如下性质： (1)(加法交换律) a + b = b + a a+b=b+a a + b = b + a (2)(加法结合律) a + b + c = a + ( b + c ) a+b+c=a+(b+c) a + b + c = a + ( b + c ) (3)(存在零元) 0 + a = a 0+a=a 0 + a = a (4)(存在相反元) ( − a ) + a = 0 (-a)+a=0 ( − a ) + a = 0 (5)(乘法交换律) a b = b a ab=ba a b = b a (6)(乘法结合律) a b c = a ( b c ) abc=a(bc) a b c = a ( b c ) (7)(存在单位元) 1. a = a 1.a=a 1 . a = a (8)(存在逆元) a ≠ 0 , a ( 1 a ) = 1 a\neq 0,a(\frac{1}{a})=1 a  ​ = 0 , a ( a 1 ​ ) = 1 (9)(分配律) a ( b + c ) = a b + a c a(b+c)=ab+ac a ( b + c ) = a b + a c 我们知道，为了研究一元多次方程的根，实数域是远远不够的。如方程 x 2 + 1 = 0

数字电路中的逻辑代数：二值逻辑，逻辑变量的取值只有0和1。 基本逻辑运算： ①与 Y=A · B =AB ②或 Y=A+B ③非 Y=A‘ 复合逻辑运算： ①与非 Y=(A·B)’ ②或非 Y=(A+B)‘ ③与或非 Y=(A·B+C·D)‘ ④异或 Y=A⊕B= A · B’ + A’ · B ⑤同或 Y=A⊙B= A · B +A’ · B’ 基本公式： 常用公式： 定理： 1. 代入定理 在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式带入式中A的位置，则等式依然成立。 2. 反演定理 对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的‘ · ’换成‘ + ’，‘ + ’换成‘ · ’，1换成0，0换成1，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是Y’ 遵循规则： 3. 对偶定理 两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。 对偶式： 来源： CSDN 作者： 一只默默努力的小透明 链接： https://blog.csdn.net/qq_44431690/article/details/104524729

行列式是一个数字。 行列式能尽可能的把矩阵的信息表示出来。比如行列式为0矩阵不可逆。 交换行或者列行列式变符号，这意味着交换矩阵它的行列式是1或者-1.因为交换矩阵可以把其他矩阵的行列交换。 行或者列乘个t，那么整个行列式的值需要乘个t。 行列式每行都有可加性 A − 1 = 1 d e t A A ∗ A^{-1}=\frac 1 {det A} A^* A − 1 = d e t A 1 ​ A ∗ ,其中 A ∗ A^* A ∗ 是伴随矩阵（当前元素是即去掉当前行当前列的矩阵行列式值） 行列式值等于当前行的各元素与对应代数余子式的线性加权和。 克拉默法则(Cramer’s Rule)求Ax=b中的x就是利用伴随矩阵求 A − 1 A^{-1} A − 1 ,然后 x = A − 1 b x=A^{-1}b x = A − 1 b 行列式的绝对值是行向量那几条边构成的几何体的体积（如果是二维那就是面积）。 特征值 特征值之和等于对角线元素之和 求特征值 d e t ( A − λ I ) = 0 det(A-\lambda I)=0 d e t ( A − λ I ) = 0 越部队称的矩阵特征值越可能是复数 特征值不同特征向量一定不线性相关，但是特征值相同不一定特征向量线性相关。 根据特征值和特征向量构造对角矩阵 矩阵对角化，本质就是利用Ax=λx这个来构造对角矩阵

本系列笔记为方便日后自己查阅而写，更多的是个人见解，也算一种学习的复习与总结，望善始善终吧~ 一阶常系数微分方程 A u = d u d t 将一阶常系数微分方程转换为线性代数问题的关键在于常系数微分方程的解一定是 指数形式 的。那么我们的需要求解的东西就是指数的系数和指数的幂，而这可以转换为线性代数问题。 解的指数形式通常是自然常数 e 的指数（猜测是因为时域信号可以转到频域，傅里叶变换，这方面学识浅薄） 这个形式很容易让我们联想到之前对于矩阵 A 的幂的求解，这里看一个例子： 这里问题被转换为了求解 A u = d u d t 特征值与特征向量 先找 A 的特征值和特征向量 求解特征值 两个小技巧： 行列式determinant为特征值的积 矩阵的迹trace为特征值的和 当然可以直接求解determinant=0得到特征值： 由于老师直接剧透 e 的幂系数中为矩阵 A 的特征值，那么对于特征值-3来说，随着t的增加，最终这一项为0；而对于特征值0来说，随着t增加，最终这一项为某一个确定值（解会收敛）；举一反三：对于特征值大于0，随着t增加，解发散。 求解特征向量 两个小技巧： 对于特征值为0，特征向量即为null space，free variable自由变量置1很容易求得 对于另一个特征值-3，利用 A − λ I 特征向量不变，也可以转换为求解null space

作者 | 何通木 来源 | 知乎 大家好，我是来自清华大学数学系的准大四学生何通木。学了三年现代数学，我想把自己的一些感悟记录下来。回头看这三年，觉得走了很多弯路、做了很多意义不大的事情，想来是跟学长、老师们的深层次沟通少了，所以想用剖析自己的经历、优缺点的方式，向大家展示一个天分普通的学生的本科学习历程，希望后来人能够更好地利用这三年时间。 对于不想从头看到尾的同学，可以根据目录挑选想看的部分，也可以只看第八节：修习顺序建议。以下观点仅为个人观点，欢迎大家讨论！ 目录 一、指导思想 二、最基本的语言：数分、线代、抽代、拓扑、流形 三、启发性的直观：黎曼曲面、微分拓扑、微分几何 四、大一统的理论：代数拓扑、代数几何 五、辅助性的工具：同调代数、交换代数 六、数学的皇后：代数数论 七、准备丘赛 八、修习顺序建议 九、附录：课程大纲 一、指导思想：广度优先 为什么我是大三结束的时候来写这篇建议呢，因为到了大四大家已经要开始准备自己那一个小方向的毕业论文了，前三年才是基础数学的基础性学习阶段。老师们都说，在本科时候要多学点东西；丘成桐先生也经常说，数学家至少要精通两个方向，才有可能发现不同方向的联系，才能做出大成就。“发现不同学科的联系”是我逐渐领悟到的努力目标，其本质是更好地理解数学，同时也是把冗余的东西缩并起来，化归到自己原有的知识体系中。 所以这篇建议的（来源于我的）局限性在于

问：是什么使您以数学为职业的？ 答：我记得大概是从七、八岁时起喜欢数学的。在中学里， 我常做一些高年级的题目。那时，我寄宿于Nimes，与比我大的孩子住在一起，他们常常欺侮我，为了平抚他们，我就经常帮他们做数学作业。这是一种最好的训练。 我母亲是药剂师（父亲也是），并且喜欢数学。在她还是Montpellier大学的药剂学学生时，只是出于兴趣，选修了一年级的微积分课，且通过了考试。她精心保存了当年的微积分课本（如我没记错的话，是Fabry和Vogt写的 ）。在我十四、十五岁时常翻看它们并学习其中的内容。我就是这样知道了导数、积分和级数等（我采用一种纯形式的方式----可以说是Euler风格： 我不喜欢也没弄懂ε和δ。那时，我一点也不知道做数学家可以谋生。只是到后来我才发现做数学也有报酬！我首先想到的是我将成为一个中学教师：这在我看来是自然的。于是，在十九岁时，我参加了高等师范学校的入学竞争考试并取得了成功。一进“高师”，事情就清楚了，中学教师并不是我要干的，我要的是从事研究的数学家。 问：您对其他学科，像物理或化学，是否有过兴趣？ 答：对物理不怎么感兴趣，但对化学有兴趣。我说过，我双亲是药剂师，所以他们有很多化学药品和试管。我十五、十六岁时，在做数学之外，经常摆弄它们。我还读了父亲的化学书（我至今还留有一本很吸引人的Jacques Duclaux著的《胶体》（Les

1.逻辑代数的基本运算 　　与运算 & Y=A·B 　　或运算 >=1 Y=A+B 　　非运算 1 Y=A（--） 　　异或运算 　　　　 Y=A ⊕ B =NOT(A)B+ANOT(B) 　　　　　　　　　　　　//真值表最后一个（1，1）与或运算相异 　　同或运算　　　　　Y=A ⊙ B =AB+NOT(A)NOT(B) 　　　　　　　　　　　　//真值表最后一个（1，1）与或运算相同 　　复合逻辑运算 　　　　与非运算 　　　　或非运算 　　　　与或非运算 2.逻辑代数的基本定律和常用公式 3.逻辑代数的三个基本规则 　　代入规则 　　反演规则：　对于任意一个函数表达式Y，如果把Y中所有的“与”换成“或”，“或”换成“与”；“0”换成“1”，“1”换成“0”； 　　　　　　　　原变量换成反变量，反变量换成原变量，即得到一个新的函数表达式Y非，称Y非为原函数Y的非函数 　　　　　　　　（对于反变量以外的非号应保留不变） 　　对偶规则： 对于任何一个逻辑表达式F,如果将式中所有的“·”换成“+”,“+”换成“·”,“0”换成“1”,“1”换成“0”, 　　　　　　　　而变量保持不变就得到表达式F'，这个表达式F'称为F的对偶式，这一变换方式称为对偶规则。 4.逻辑函数及其表示方法 　　最小项（同一逻辑函数可以用不同的逻辑表达式来表示，但用最小项表达式表示时则是唯一的） 　

目录 第一章 行列式 1 二阶与三阶行列式 2 全排列及其逆序数 3 n阶行列式的定义 4 对换 5 行列式的性质 6 行列式按行(列)展开 7 克拉默法则 习题 第二章 矩阵及其运算 1 矩阵 2 矩阵的运算 3 逆矩阵 4 矩阵分块法 习题二 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 1 矩阵的初等变换 2 矩阵的秩 3 线性方程组的解 习题三 第四章 向量组的线性相关性 1 向量组及其线性组合 2 向量组的线性相关性 3 向量组的秩^ 4 线性方程组的解的结构 5 向量空间 习题四 第五章 相似矩阵及二次型 1 向量的内积、长度及正交性 2 方阵的特征值与特征向量 3 相似矩阵 4 对称矩阵的对角化 5 二次型及其标准形 6 用配方法化二次型成标准形 7 正定二次型 习题五 第六章 线性空间与线性变换 1 线性空间的定义与性质 2 维数、基与坐标 3 基变换与坐标变换 4 线性变换 5 线性变换的矩阵表示式 习题六 来源： https://www.cnblogs.com/end/archive/2011/11/13/2247563.html

2，代数精度 （1）目的： 数值求积方法是近似方法，为了保证精度，我们自然希望公式能对“尽可能多”的函数准确成立，这就提出了所谓代数精度的概念。 （2）定义： ①若某个求积公式对于次数≤m的多项式均能够准确成立，但对于m+1次多项式就不一定准确，则称该求积公式有m次代数精度。 ②若某个求积公式对于1, x,…, xm 均能够准确成立，但对于xm+1就不准确成立，则称该求积公式有m次代数精度。 （3）定理： 当n为偶数时，牛顿—柯特斯公式至少有n+1次代数精度。注：在实际应用时，出于对计算复杂性和计算速度的考虑，我们常常使用低阶偶数求积公式，代替高一阶的奇数求积公式。 3，插值求积公式 （1）定理：具有n+1个求积节点的机械求积公式至少有n次代数精度的充分必要条件是，它是插值型的。 试总结证明机械求积公式是插值型求积公式的方法。 （2）求积公式的余项 若求积公式的代数精度为m，则余项形如 其中K是不依赖于f(x)的待定参数。 3，牛顿—柯特斯求积公式{梯形，辛普森，柯特斯} 4，复化求积公式 1、 定义： 为了提高精度通常可把积分区间分成若干子区间，再在每个子区间上用低阶求积公式。这种方法称为复化求积法。 复化求积法就是先用低阶的牛顿—柯特斯公式求得每个子区间[xk, xk+1]上的积分 来源： CSDN 作者： YuanYWRS 链接： https://blog.csdn.net

Greg Meredith与Isaac DeFrain和Christian Williams一起讨论了射影几何及其在Rho演算中的作用。 原文链接及音频 https://blog.rchain.coop/blog/2020/01/11/rcast-66-projective-geometr Fano图 讨论 指导原则之一：线是相互作用的点。形式上，这意味着线可以被解释为一系列过程，而点则是（一组）redex。所有可能的redex都已进行了颜色编码，以与图中各点的颜色匹配。例如，标记为p1的点以红色显示在L1，L3和L4上。因此，我们预计L1可能会随着L3的减少而减少，并且在各平行组成部分的两个红色部分中也会减少。同样，L1与L4会与红色并行和交互，L3和L4同样如此。 要从此骨架进行到仅在（一定数量）交互（从而能够提供稳定的几何形状）之后重现Fano平面的过程，要解决只有Pij和Qij。以下是一个简单的练习，但是你可能会发现这个小技巧会有所帮助。 x?(y)( *y | x!(y) ) | x!( x?(y)( *y | x!(y) ) | P ) ->* P | P | P | …. 构造Pij和Qij的解决方案更加有趣，因为随着线的相互作用，整个空间会演化为新的几何形状。 观察 转向构图几何 这种方法有关键特性——几何形状是可以被合成的。在最简单的情况下