不定方程

【题目描述】 给定正整数a，b，ca，b，c。求不定方程 ax+by=cax+by=c 关于未知数xx和yy的所有非负整数解组数。 【输入】 一行，包含三个正整数a，b，ca，b，c，两个整数之间用单个空格隔开。每个数均不大于10001000。 【输出】 一个整数，即不定方程的非负整数解组数。 【输入样例】 2 3 18 【输出样例】 4 【参考程序】 # include <iostream> # include <cstdio> using namespace std ; int main ( ) { int a , b , c , x , y , s = 0 ; cin >> a >> b >> c ; for ( x = 0 ; x <= c / a ; ++ x ) for ( y = 0 ; y <= c / b ; ++ y ) if ( a * x + b * y == c ) s ++ ; cout << s << endl ; return 0 ; } 来源： CSDN 作者： 武侠猫 链接： https://blog.csdn.net/fjkgh/article/details/104231304

二元一次不定方程 定义： a ， b ， c a，b，c a ， b ， c 是整数， a b ≠ 0 ab≠0 a b  ​ = 0 ，那么形如 a x + b y = c ax+by=c a x + b y = c 的方程称为二元一次不定方程。 定理：设 a ， b a，b a ， b 是整数，且 d = ( a , b ) d=(a,b) d = ( a , b ) ，如果 d ∣ c d|c d ∣ c ，那么方程存在无数多个整数解，否则方程不存在整数解。 ( ( a , b ) = g c d ( a , b ) ) ((a,b)=gcd(a,b)) ( ( a , b ) = g c d ( a , b ) ) 二元一次不定方程和 同余方程 之间可以相互转换的，例如在 a > 0 , b > 0 a>0,b>0 a > 0 , b > 0 的条件下，求解二元一次不定方程 a x + b y = c ax+by=c a x + b y = c 与求解同余方程 a x ≡ c ( m o d b ) ax≡c(mod\ b) a x ≡ c ( m o d b ) 是相同的。 求解同余方程使用 扩展欧几里得算法 ，二元一次不定方程同样可以使用扩展欧几里得算法。 由扩展欧几里得可知：设 a a a 和 b b b 不全为0，则存在整数 x ， y x，y x ， y ，使得

1.100匹马驮100担货，大马一匹驮3担，中马一匹驮2担，小马二匹驮1担。试编写程序计算大、中、小马数目 int i = 0;//大马 int j = 0;//中马 int k = 0;//小马 for(i = 0;i < 34;i ++) { for(j = 0;j < 51;j ++) { k = 100 - i - j; if(k % 2 == 0) { if(3 * i + j * 2 + k / 2 == 100) printf("大马:%d 中马：%d 小马：%d\n",i,j,k); } } } 2.用1元人民币兑换成1分，2分和5分硬币，要求应换若干2分的，还应该换若干1分的，且1分的个数是2分个数的10倍，其余的换成5分的，问每种硬币换多少个？ 这道题值得思考的是应该设置2分的个数变量作为总循环变量，如果设置1分的个数变量作为总循环，要考虑个数是否是10的整数倍，写起来要多写1分个数是2分个数的取余数为0且取模为10，很麻烦 int i = 0;//1元 int j = 0;//2元 int k = 0;//5元 for(j = 0;j <= 50;j ++) { i = j * 10; for(k = 0;k <= 20;k ++) { if(i + 2 * j + 5 * k == 100) printf("1分：%d，2分：%d，5分：%d\n",i,j

对于 　　　　　　　 　ax+by=gcd(a,b) 这样的方程，可以用扩展欧几里得算法exgcd求出一组通解。 根据欧几里得求gcd： 　　　　　　　　 gcd(a,b)=gcd(b,a%b) 可得 　　　　　　　　 bx+(a%b)y=gcd(b,a%b) 根据 　　　　　　a%b=a−(a/b)∗b 可得 　　　　　　　　 bx+ay−(a/b)b∗y=gcd(b,a%b) 化简得 　　　　　　　　 ay+b(x−(a/b)y)=gcd(b,a%b) 　　　　　　　 x ′ = y , y ′ = ( x − ( a / b ) y ) 　　　　a x ′ + b y ′ = g c d ( b , a % b ) < = > a x + b y = g c d ( a , b ) 根据 　　　　　　gcd(a,0)=a 一直递归直到b为0时可得 　　　　　　ax+by=a 可以得出一组平凡解 　　　　　　　　　　 x=1,y=0 所以一直递归下去可以得出一组平凡解，然后再往回带得出ax+by=gcd(a,b)的一组解（ x ′ = y , y ′ = ( x − ( a / b ) y ) ） 泛化来看不定方程 ax+by=c 只有满足 c%gcd(a,b)==0 才有解。 求解同余方程可以用费马小定理来求也可以用拓展欧几里得来求 ax≡b mod n <==>ax+ny

总 得来说，这是可怕的一天，极其可怕的一天 （完） 一、数论 阴影啊！ 首先，设ab为两个整数，则存在唯一的q和r，使得a=qb+r 若r=0，则b整除a，记作b|a。 （1）同余 若a/m和b/m的余数相同,则称a于b对模m同余,记作a ≡ b (mod m) 剩余系:在模 m 的意义下，余数相同的数归为一个集合，那么所有整数被分为 m个不同的集合，模 m 的余数分别为 0,1,2,3,...,m − 1，这些集合被称为模 m 剩余类（同余类）。每个同余类中的任意两个整数都是模 m 同余的。__by dzy（就是模m的余数集合） 若是剩余系遍历了0~m-1，则叫做完全剩余系 同余式的三则运算： 设 a,b,c,d 为整数，m 为正整数，若 a ≡ b (mod m),c ≡ d(mod m)，则： ax + cy ≡ bx + dy (mod m)，其中 x,y 为任意整数，即同余式可以相加（） ac ≡ bd (mod m)，即同余式可以相乘a n ≡ b n (mod m)，其中 n > 0 f(a) ≡ f(b) (mod m)，其中 f(x) 为任一多项式。 a n ≡ b n (mod m)，其中 n > 0 （2）素数 判断素数的方法：一般是从2开始，枚举到√ n，依次判断i是否能整除n，若n=pq，则pq中的一个必定小于等于√ n。 但是，如果硬生生跑√ n