简介
背包问题是一类动态规划问题的统称，分有多种子类型。
01背包
给定\(n\)个物品，每个物品都有自己的价值\(v_i\)和重量\(w_i\)。现有一个容量为\(W\)的背包，求最大价值。
很容易想到每种物品只有选或者不选，那么依次枚举即可。
考虑到还需要判断能否装下这些物品，所以还需要在转移的时候维护剩余容量。
因此设子状态\(f[i][j]\)为当前在第\(i\)个物品处，包括\(i\)在内已经选了重量为\(j\)的物品的最大价值。
状态转移方程为\(f[i][j]=max(f[i-1][j-v_i]+w[i],f[i-1][j])\)
此时的空间复杂度为\(O(NM)\)，可以通过滚动数组优化到\(O(M)\)。
事实上，还可以进行进一步优化：
由于每一层\(i\)之间是互相独立的（也就是说\(f[i][j]\)不会被\(f[i][k]\)更新），所以我们可以优化掉第一维，但是此时需要修改第二维的枚举顺序。
根据状态转移方程可知，第二维大的状态是由第二维小的状态转移来的，由于我们优化掉了第一维，所以必须先遍历第二维大的状态，否则将会出现覆盖的情况。
所以第一维遍历仍然顺序，第二维遍历须改为逆序。