三角形的五心

1. 概述
   1. 三角形的五心包括重心、垂心、外心、内心和旁心，是解决三角形问题的一种工具，也是一种研究对象。
   2. 前置知识：三角形等积变换、轴对称、相似、圆
2. 内容

   1. 重心

      1. 重心的概念
         1. 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形的内部
            
            如图，G为△ABC的重心
      2. 重心的性质
         1. 基本性质
            1. 三角形重心与顶点的距离等于它与对应中点的距离的两倍，即$\displaystyle \frac{AG}{GD}=\frac{BG}{GE}=\frac{CG}{GF}=2$
            2. 证明1
               1. 由共边定理得
                  
               2. 由蝴蝶定理得
                  
               3. 于是有
                  
               4. 由共边定理得$\frac{AG}{DG}=\frac{\triangle ACG}{\triangle CDG}=2$
               5. 同理可推得其他边的关系
            3. 证明2
               1. 连接$DE$，由中位线得平行，得八字模型，由相似和中位线$\frac{1}{2}$得$2$倍
                  
         2. 推论1
            1. 设$G$是$\triangle ABC$中一点，若$S_{\triangle ABG}=S_{\triangle ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}$，则$G$为$\triangle ABC$的重心
               1. 证明
                  1. 由共边定理（燕尾模型）得$\frac{BD}{CD}=\frac{S_{\triangle ABG}}{S_{\triangle ACG}}=1$，即$G$为$\triangle ABC$中点

   2. 垂心

   3. 外心

   4. 内心

   5. 旁心