三角形中线定理

1 什么样的图形叫做三角形？ 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2 什么样的线段叫做三角形的角平分线？中线呢？高呢？三角形的角平分线与一个角的平分线有什么区别？ 三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做 三角形的角平分线。 在三角形中，连结 一个顶点和它的对边中点的线段叫做 三角形的中线。 从三角形一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。 角的平分线是一条射线，三角形的角平分线却是一条线段。 角的平分线是这样定义的：在角的内部从角的顶点引一条射线，把这个角分成相等的两部分，这条射线叫做这个角的平分线。 在三角形中，不能说AD是三角形中某一个内角的角平分线，而只能说是这个三角形的角平分线，因为某一个内角的角平分线是一条射线。 3 三角形三边之间有什么大小关系？ 定理：三角形的两边的和大于第三边。 推论：三角形的两边的差小于第三边。 4三角形内角和定理及三个推论的内容是什么？ 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。 推论：直角三角形的两个锐角互余。 推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 5按边、按角怎么对三角形进行分类？ 来源： https://www.cnblogs.com/158-186/p

1 由 不在 同一直线上的 三条线段首尾相接 所组成的图形叫做 三角形； 2 三角形一个 角的平分线 与 这个角 的对边相交，这个角的顶点与交点之间的 线段，叫做 三角形的角平分线； 3 在三角形中，连结一个 顶点和它的对边中点的 线段叫做三角形的中线； 4 从 三角形一个顶点 向它的对边 画垂线，顶点和垂足间的 线段叫做三角形的垂线； 5 定理：三角形的两边的和大于第三边； 推论：三角形的两边的差小于第三边； 6 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°； 7 在直角三角形中，夹直角的两边叫做直角边，直角的对边叫做斜边； 三角形内角和定理 推论：直角三角形的两个锐角互余； 8 像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角； 三角形内角和定理 推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 来源： https://www.cnblogs.com/158-186/p/12272214.html

概述 三角形的五心包括重心、垂心、外心、内心和旁心，是解决三角形问题的一种工具，也是一种研究对象。 前置知识：三角形等积变换、轴对称、相似、圆 内容 重心 重心的概念 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形的内部 如图，G为△ABC的重心 重心的性质 基本性质 三角形重心与顶点的距离等于它与对应中点的距离的两倍，即$\displaystyle \frac{AG}{GD}=\frac{BG}{GE}=\frac{CG}{GF}=2$ 证明1 由共边定理得 由蝴蝶定理得 于是有 由共边定理得$\frac{AG}{DG}=\frac{\triangle ACG}{\triangle CDG}=2$ 同理可推得其他边的关系 证明2 连接$DE$，由中位线得平行，得八字模型，由相似和中位线$\frac{1}{2}$得$2$倍 推论1 设$G$是$\triangle ABC$中一点，若$S_{\triangle ABG}=S_{\triangle ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}$，则$G$为$\triangle ABC$的重心 证明 由共边定理（燕尾模型）得$\frac{BD}{CD}=\frac{S_{\triangle ABG}}{S_{\triangle ACG}}=1$，即$G$为$\triangle ABC$中点 垂心 外心