三角形外心

题目：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/4692/A # include <iostream> # include <cstdio> using namespace std ; int main ( ) { double x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3 , a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 ; cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> x3 >> y3 ; a1 = 2 * ( x2 - x1 ) ; b1 = 2 * ( y2 - y1 ) ; c1 = x2 * x2 + y2 * y2 - x1 * x1 - y1 * y1 ; a2 = 2 * ( x3 - x2 ) ; b2 = 2 * ( y3 - y2 ) ; c2 = x3 * x3 + y3 * y3 - x2 * x2 - y2 * y2 ; printf ( "%.3f " , ( c1 * b2 - c2 * b1 ) / ( a1 * b2 - a2 * b1 ) ) ; printf ( "%.3f" , ( a1 * c2 - a2 * c1 ) / ( a1 * b2 - a2 * b1 ) ) ; return 0 ; } 来源： CSDN 作者： 小白白同学& 链接： https://blog

概述 三角形的五心包括重心、垂心、外心、内心和旁心，是解决三角形问题的一种工具，也是一种研究对象。 前置知识：三角形等积变换、轴对称、相似、圆 内容 重心 重心的概念 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形的内部 如图，G为△ABC的重心 重心的性质 基本性质 三角形重心与顶点的距离等于它与对应中点的距离的两倍，即$\displaystyle \frac{AG}{GD}=\frac{BG}{GE}=\frac{CG}{GF}=2$ 证明1 由共边定理得 由蝴蝶定理得 于是有 由共边定理得$\frac{AG}{DG}=\frac{\triangle ACG}{\triangle CDG}=2$ 同理可推得其他边的关系 证明2 连接$DE$，由中位线得平行，得八字模型，由相似和中位线$\frac{1}{2}$得$2$倍 推论1 设$G$是$\triangle ABC$中一点，若$S_{\triangle ABG}=S_{\triangle ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}$，则$G$为$\triangle ABC$的重心 证明 由共边定理（燕尾模型）得$\frac{BD}{CD}=\frac{S_{\triangle ABG}}{S_{\triangle ACG}}=1$，即$G$为$\triangle ABC$中点 垂心 外心

基本长度： 已知三角形$ABC$三条边的的长度$a，b，c$，求 内接圆半径： $r=\frac{2*S_{ABC}}{a+b+c}$ 外接圆半径： $\frac{4*S_{ABC}}{xr}$ 旁切圆半径： $r_{a}=\frac{S_{ABC}}{b+c-a},r_{b}=\frac{S_{ABC}}{c+a-b},r_{c}=\frac{S_{ABC}}{a+b-c}$ 九点圆： 高频极难的考点，就是用来出高联压轴和 AIME 15题的那个 circular 东西 在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点(垂心)与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，通常称这个圆为九点圆（nine-point circle） 九点圆的许多性质： 1. 三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半； 2. 九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点； 3. 三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切； 4. 九点圆是一个垂心组（即一个三角形三个顶点和它的垂心，共四个点，每个点都是其它三点组成的三角形的垂心，共4个三角形）共有的九点圆，所以九点圆共与四个内切圆、十二个旁切圆相切。 5. 九点圆心$(V)$，重心$(G)$，垂心$(H)$，外心$(O)$四点共线，且$HG=2OG，OG=2VG，OH=2OV$。 巨佬 ZSQ 的调和点列过于强劲，以后再说 来源：