三角形重心

概述 三角形的五心包括重心、垂心、外心、内心和旁心，是解决三角形问题的一种工具，也是一种研究对象。 前置知识：三角形等积变换、轴对称、相似、圆 内容 重心 重心的概念 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形的内部 如图，G为△ABC的重心 重心的性质 基本性质 三角形重心与顶点的距离等于它与对应中点的距离的两倍，即$\displaystyle \frac{AG}{GD}=\frac{BG}{GE}=\frac{CG}{GF}=2$ 证明1 由共边定理得 由蝴蝶定理得 于是有 由共边定理得$\frac{AG}{DG}=\frac{\triangle ACG}{\triangle CDG}=2$ 同理可推得其他边的关系 证明2 连接$DE$，由中位线得平行，得八字模型，由相似和中位线$\frac{1}{2}$得$2$倍 推论1 设$G$是$\triangle ABC$中一点，若$S_{\triangle ABG}=S_{\triangle ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}$，则$G$为$\triangle ABC$的重心 证明 由共边定理（燕尾模型）得$\frac{BD}{CD}=\frac{S_{\triangle ABG}}{S_{\triangle ACG}}=1$，即$G$为$\triangle ABC$中点 垂心 外心