自从机房掀起学习数学之风，我便跟风学起了数学（其实是因为不会）
众所周知FFT很有用（一开始真是不太好理解）。
首先上大佬的博客：
1.胡小兔（对不起我不如小学生）
2.路人黑的纸巾
3.GGN_2015
4.自为风月马前卒
接下来是正文（我抄的）。
FFT（Fast Fourier Transformation），中文名快速傅里叶变换，用来加速多项式乘法
前置知识：无吧？（反正我上数学课顺便看了看复数的基础知识就过来学了）
啊好吧还是有的
向量
同时具有大小和方向的量
在几何中通常用带有箭头的线段表示
圆的弧度制
等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度。用弧度作单位来度量角的制度叫做弧度制
公式:
1∘=π180rad1∘=π180rad
180∘=πrad180∘=πrad
平行四边形定则
平行四边形定则：AB+AD=AC
系数表示法
设A(x)表示一个n−1次多项式
则A(x)=∑ni=0ai∗xi
例如：A(3)=2+3∗x+x2
利用这种方法计算多项式乘法复杂度为O(n2)
（第一个多项式中每个系数都需要与第二个多项式的每个系数相乘）
点值表示法
将nn互不相同的xx带入多项式，会得到nn个不同的取值yy
则该多项式被这nn个点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn))唯一确定
其中yi=∑n−1j=0aj∗xji
例如：上面的例子用点值表示法可以为(0,2),(1,6),(2,12)
利用这种方法计算多项式乘法的时间复杂度仍然为O(n^2)
（选点O(n)，每次计算O(n)）
复数
定义
设a,ba,b为实数，i2=−1i2=−1，形如a+bia+bi的数叫复数，其中ii被称为虚数单位，复数域是目前已知最大的域
在复平面中，xx代表实数，yy轴（除原点外的点）代表虚数，从原点(0,0)(0,0)到(a,b)(a,b)的向量表示复数a+bia+bi
模长：从原点(0,0)(0,0)到点(a,b)(a,b)的距离，即a2+b2−−−−−−√a2+b2
幅角：假设以逆时针为正方向，从xx轴正半轴到已知向量的转角的有向角叫做幅角
C++的STL提供了复数模板！
头文件：#include <complex>
定义： complex<double> x;
运算：直接使用加减乘除。
代数定义：
傅里叶要用到的n个复数，不是随机找的，而是——把单位圆（圆心为原点、1为半径的圆）n等分，取这n个点（或点表示的向量）所表示的虚数，即分别以这n个点的横坐标为实部、纵坐标为虚部，所构成的虚数。
从点(1,0)(1,0)开始（显然这个点是我们要取的点之一），逆时针将这n个点从0开始编号，第kk个点对应的虚数记作ωnk（根据复数相乘时模长相乘幅角相加可以看出，ωnk是w1n的k次方，所以ω1n被称为n次单位根）。
单位根的性质
为什么要使用单位根作为xx代入
答：因为离散傅里叶变换有着特殊的性质。
一个结论
把多项式A(x)A(x)的离散傅里叶变换结果作为另一个多项式B(x)B(x)的系数，取单位根的倒数即ω0n,ω−1n,ω−2n,...,ω−(n−1)nωn0,ωn−1,ωn−2,...,ωn−(n−1)作为xx代入B(x)B(x)，得到的每个数再除以n，得到的是A(x)A(x)的各项系数
正主出场
快速傅里叶变换
快速傅里叶变换的数学证明
仍然，我们设A(x)=a0+a1x+a2x2+...+an−1xn−1A(x)=a0+a1x+a2x2+...+an−1xn−1，现在为了求离散傅里叶变换，要把一个x=ωknx=ωnk代入。
考虑将A(x)A(x)的每一项按照下标的奇偶分成两部分：
设两个多项式：
则：
假设k<n2k<n2，现在要把x=ωknx=ωnk代入：
那么对于A(ωk+n2n)A(ωnk+n2)：
所以，如果我们知道两个多项式A1(x)A1(x)和A2(x)A2(x)分别在(ω0n2,ω1n2,ω2n2,...,ωn2−1n2(ωn20,ωn21,ωn22,...,ωn2n2−1)的点值表示，就可以O(n)O(n)求出A(x)A(x)在ω0n,ω1n,ω2n,...,ωn−1nωn0,ωn1,ωn2,...,ωnn−1处的点值表示了。而A1(x)A1(x)和A2(x)A2(x)都是规模缩小了一半的子问题。分治边界是n=1n=1，此时直接return。