在数学上，斐波那契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=Fn-1+Fn-2（n>=2，n∈N*），用文字来说，就是斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数列系数就由之前的两数相加。
它有一个递推关系，
f(1)=1
f(2)=1
f(n)=f(n-1)+f(n-2),其中n>=2
3f(n)=f(n+2)+f(n-2)
斐波那契数是
由线性递归方程定义的数列
 | （1） |
与
。作为定义（1）的结果，通常定义
。
，2，... 的斐波那契数是1，1，2，3，5，8，13，21，...（OEIS A000045）。
斐波纳契数列可以被看作是在特定情况下斐波纳契多项式 
与
。
对于封闭形式
由下式给出
 | （3） |
其中，
和
是的根源
。在这里，
所以等式变为
 | （4） |
有根
 | （5） |
因此，闭合形式为
 | （6） |
这就是Binet的斐波那契数公式（Wells 1986，第62页）。另一种封闭形式是
 |  |  | （7） |
 |  |  | （8） |
其中，
是最接近的整数函数（Wells 1986，第62页）。
使用等式（7），的定义
可以扩展到负整数
根据
 | （9） |
更一般地，Fibonacci数可以扩展到
实数
通过
 | （10） |
如上图所示。
Fibonacci函数在处有零，
并且有无限数量的负值可以逼近
所有负整数
，由
 | （11） |
其中
是黄金比例。最初的几个根源是0，
（OEIS A089260）
，
，
，...
斐波那契数的 另一个递归关系是
 | （12） |
是
是 | （13） |
为
。（该
案例很简单 
，而该
案例本质上是 卡西尼号的标识，因此等于
。）
另一个有趣的行列式从定义同一性如下
作为
处处矩阵用零除
和
对
（即，沿着superdiagonal和次对角）。然后
 | （14） |
（马基洛夫）。
斐波那契数 的生成函数是
 |  |  | （15） |
 |  |  | （16） |
 |  |  | （17） |
通过插入
，可以得到上面说明的好奇的加法树，
 | （18） |
所以
 | （19） |
（Livio 2002，第106-107页）。
总和
 | （20） |
数列
=
(n=1,2,3……）
这个通项公式中虽然所有的an都是正整数，可是它们却是由一些无理数表示出来的。
游戏
有一种两人游戏，名叫“尼姆”。游戏方法是由两个人轮流取一堆粒数不限的砂子。先取的一方可以取任意粒，但不能把这堆砂子全部取走。后取的一方，取数也多少不拘，但最多不能超过对方所取砂子数的一倍。然后又轮到先取的一方来取，但也不能超过对方最后一次所取砂子的一倍。这样交替地进行下去，直到全部砂子被取光为止，谁能拿到最后一粒砂子，谁就算胜利者。在这个游戏中，永远都是后选者胜。
例子
4不是斐波那契数。
A只能取1，B取1
A取1，B取得胜利
生物应用
斐波那契数列中的斐波那契数会经常在我们的眼前出现——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越数e（可以推出更多），黄金矩形、黄金分割、等角螺线，十二平均律等。
斐波那契数在植物叶片排列中展现斐波那契数与植物花瓣
3………………………百合和蝴蝶花
5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花
8………………………翠雀花
13………………………金盏和玫瑰
21………………………紫宛
34、55、89……………雏菊
斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那些叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。
黄金分割
随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值1:1.6180339887……
| 前一项 | 后一项 | 比例 | 与黄金分割率的差值 |
| 1 | 1 | 1:1 | 0.61803 |
| 1 | 2 | 1:2 | 0.38197 |
| 2 | 3 | 1:1.5 | 0.11803 |
| 3 | 5 | 1:1.66667 | 0.04864 |
| 5 | 8 | 1:1.6 | 0.01803 |
| 8 | 13 | 1:1.625 | 0.00697 |
| 13 | 21 | 1:1.61538 | 0.00265 |
| 21 | 34 | 1:1.61905 | 0.00102 |
| 34 | 55 | 1:1.61765 | 0.00038 |
| 55 | 89 | 1:1.61818 | 0.00015 |
| 89 | 144 | 1:1.61797 | 0.00006 |
| 144 | 233 | 1:1.61805 | 0.00002 |
| ...... | ...... | 越来越接近黄金分割率 | 越来越接近0 |
杨辉三角
将杨辉三角左对齐，成如图所示排列，将同一斜行的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……
杨辉三角左对齐
公式表示如下：
f⑴=C(0,0)=1。
f⑵=C(1,0)=1。
f⑶=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2。
f⑷=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3。
f⑸=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5。
f⑹=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8。
F⑺=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13。
……
F(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+…+C(n-1-m,m) (m<=n-1-m)
质数数量
斐波那契数列的整除性与素数生成性
每3个连续的数中有且只有一个被2整除，
每4个连续的数中有且只有一个被3整除，
每5个连续的数中有且只有一个被5整除，
每6个连续的数中有且只有一个被8整除，
每7个连续的数中有且只有一个被13整除，
每8个连续的数中有且只有一个被21整除，
每9个连续的数中有且只有一个被34整除，
.......
我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）
斐波那契数列的素数无限多吗？
尾数循环
斐波那契数列的个位数：一个60步的循环
11235,83145,94370,77415,61785.38190,
99875,27965,16730,33695,49325,72910…
进一步，斐波那契数列的最后两位数是一个300步的循环，最后三位数是一个1500步的循环，最后四位数是一个15000步的循环，最后五位数是一个150000步的循环。
自然界中
自然界中的斐波那契数列斐波那契数列在自然科学的其他分支，有许多应用。例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。
另外，观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数：3、5、8、13、21、……
斐波那契螺旋：具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数0.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条。
数字谜题
自然界中的斐波那契数列三角形的三边关系定理和斐波那契数列的一个联系：
现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n>2），每段的长度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为多少？
分析：由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件就是任意两边之和不超过最大边。截成的铁丝最小为1，因此可以放2个1，第三条线段就是2（为了使得n最大，因此要使剩下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻2段之和），依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各数之和为143，与144相差1，因此可以取最后一段为56，这时n达到最大为10。
我们看到，“每段的长度不小于1”这个条件起了控制全局的作用，正是这个最小数1产生了斐波那契数列，如果把1换成其他数，递推关系保留了，但这个数列消失了。这里，三角形的三边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系。
在这个问题中，144>143，这个143是斐波那契数列的前n项和，我们是把144超出143的部分加到最后的一个数上去，如果加到其他数上，就有3条线段可以构成三角形了。