z = f(x,y) x,y属于集合D，M0（x0，y0）属于集合D
见图可知，可以类比于上山下山的过程，在M0点是此时在p0点的一个向下的投影，在p0点存在上山下山情况，可以去各个方向。过m0点做一条射线l，上面存在m点(x0+Δx,y0+Δy)在l上在l上，Δz = f(x0+Δx,y0+Δy)-f(x0,y0) , m0到m的距离为k=√Δx^2+Δy^2 , k→0时 if 极限存在 lim ΔZ /k 此极限为z=f（x,y）在m0点沿射线l的方向导数，∂z/∂l 在m0点的方向导数。在其他空间上诉仍然成立，
（cosα ，cosβ） 为方向角是在向量a（x,y）方向上的单位向量，cosα=x/|a|,cosβ=y/|a| ,方向余弦，方向导数为∂z/∂x *cosα + ∂z/∂y *cosβ=（∂z/∂x，∂z/∂y）*（cosα，cosβ），前面固定的向量为数值在m0点，后面的是在l方向上的单位向量，利用向量公式展开 a*b=|a|*|b|*cosθ ,因为前面展开是常数，所以只是和cosθ 有关，当θ=0时，cosθ去最大为1，因此（∂z/∂x，∂z/∂y）为在该点的梯度，梯度方向是方向导数最大的方向，上升降低最快的方向。