方向导数

定积分的近似计算 定积分应用相关公式 空间解析几何和向量代数 多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用 方向导数与梯度 多元函数的极值及其求法 来源： https://www.cnblogs.com/SkystarX/p/12285986.html

困扰多年，看了不久以后就又会忘记。 一.方向导数 （1）方向导数是个数值。 二维空间情形： 我们把f(x+Dx,y+Dy)-f(x,y)的值Value1与PP1的距离value2的比值的极值叫做沿PP1的方向导数。 三维空间计算过程相似； 二.梯度 （1）梯度是一个向量。 （2）沿梯度方向的方向导数达到最大值； sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu2/lesson/8.7fangxiangdaoshuyutidu.htm 以二维空间为例，对于Z=f(x,y).在某点P(x0,y0)处的梯度可以理解为(DZ/Dx|x=x0，DZ/Dy|y=y0)。具体到离散状态，用差分的形式来表示 就是（一维的表示方法） 沿X方向 (f(x+Dx)-f(x)） 沿Y方向 （f(y+Dy)-f(y)) 梯度的方向表示为Sigta=arctan(Dy/Dx) 所以求解一个图像的各个方向的梯度时，我们采用模板与图像的卷积来进行计算： 分别表示在90度，0度，135度和45度的变化。 总结：某一方向的方向导数也就是f(x,y)在该方向的变化率（也就是f(x+Dx,y+dy)-f(x,y)的值），当该方向与梯度的方向一致时梯度方向也就是方向导数最大的方向，方向导数的值就等于梯度的模。 （参见网址：210.31.100.100/gdsx/?p=61&a=view&r=219) 有一个疑问是

一个最简单的例子：f(x,y)=x+y 那么全微分df=dx+dy 因为这个f(x,y)对x和y都是线性的，所以df=dx+dy对大的x和y变化也成立。 将x和y方向分开看，x方向每增加dx=1（y不变），f(x,y)增加df=1；y方向每增加dy=1（x不变），f(x,y)也增加df=1； 如果x和y同时增加1（dx=1，dy=1），f(x,y)增加dx+dy=2。 对以上函数f(x,y)，当x和y按1:1变化时，f(x,y)增长最快。 如果换个函数，f(x,y)=2x+y，那么当x和y按2:1变化时，f(x,y)增长最快。 梯度表示f(x,y)增长最快的方向。与梯度相反的方向就是函数减小最快的方向。 反过来说，沿垂直于梯度方向，f(x,y)变化最小（即没有变化）。 于是，在<x0,y0>的梯度正交于过该点的等高线。 方向导数是说，对于方程z=f(x,y)，当<x,y>从<x0,y0>沿指定方向增加单位向量长度时，f(x,y)增加多少。 当指定方向与梯度不重合时，函数变化就没有沿梯度方向变化大。 来源： https://www.cnblogs.com/byeyear/p/3702553.html

1.前言 在机器学习，深度学习中，我们通过定义损失函数并采用最小化损失函数的策略来优化模型中的参数。到了这个环节，其实我们面临的就是最优化问题。求解这些问题的方法也有很多，最常用就是 梯度下降算法 ，在李航博士的《统计学习方法》中也还有 牛顿法 等。而针对梯度下降算法的不足，对此改进的有 随机梯度下降法 以及添加 动量 等。在本篇博文中，我们先来看看梯度下降算法的数学原理。 2.预备知识 在了解梯度下降算法之前，我们需要有一定的数学基础，例如：偏导，梯度，泰勒展开式。偏导大家应该很清楚，就不做细谈，现在让我们回忆以下梯度以及泰勒展开式的相关概念。 2.1梯度 本部分主要参考百度文库[1]。梯度：表示一函数在该点的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。这里又有一个新名词 方向导数 ，那么什么是方向导数呢？下面我们来看看： 背景 ：假如我们有一个曲面（我们可以联想到这是一个山坡， z z z 可以看成一个高度） z = ( x , y ) z=(x,y) z = ( x , y ) ，其中 ( x , y ) ∈ D (x,y)\in D ( x , y ) ∈ D ，可以将 D D D 理解为这座山所占水平面的那块平面区域，在这块区域上有一点 M 0 ( x 0 , y 0 ) ∈ D M_0(x_0,y_0)

方向导数： 指在函数图像某一点处沿着某个方向的导数，即可以求沿着任意方向的导数，当然在引入方向导数之前只是求沿着坐标轴的导数（如x、y方向），之前学过可以求对某个坐标轴的导数，所以要求沿着某一个方向的导数可以利用对坐标轴的导数变换得到，即沿着某一个方向的导数等于 ①（其中 为该方向到x轴正向的夹角）。 梯度： 是一个向量，指在函数图像某一点处方向导数最大的方向，也即是沿着该方向函数值变化最快，即此向量为（ ， ）。 在函数图像某一点处时，由①式和梯度概念可知，当方向l为该点的梯度方向时，该点的方向导数最大，也可以证明：①式中cos 2 +sin 2 =1的约束条件下 中函数 的最大值为 。也可以推导，梯度方向的方向导数为 恰好该点方向导数最大值和该点梯度向量的模相等。 来源： https://www.cnblogs.com/wisir/p/11794051.html

很久之前学的，这次回顾的时候发现自己把梯度下降法和导数=0搞混了。 导数=0是直接的求法，可能是极大值也可能是极小值。 梯度下降法是一步步逼近极小值的方法，而不是一步到位的。（因为在求法中θ1 = θ0 - α*梯度，而梯度是函数上升最快的方向，加上一个负号，所以一定是函数下降的方向） https://www.jianshu.com/p/c7e642877b0e 这篇文章讲的超好，mark一下~ 来源：博客园 作者： NicoleHe 链接：https://www.cnblogs.com/nicolelfhe/p/11630090.html

版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。 原作者：WangBo_NLPR 原文：https://blog.csdn.net/walilk/article/details/50978864 原作者：Eric_LH 原文：https://blog.csdn.net/eric_lh/article/details/78994461 --------------------- 前言 　机器学习中的大部分问题都是优化问题，而绝大部分优化问题都可以使用梯度下降法处理，那么搞懂什么是梯度，什么是梯度下降法就非常重要！这是基础中的基础，也是必须掌握的概念！ 　提到梯度，就必须从导数（derivative）、偏导数（partial derivative）和方向导数（directional derivative）讲起，弄清楚这些概念，才能够正确理解为什么在优化问题中使用梯度下降法来优化目标函数，并熟练掌握梯度下降法（Gradient Descent）。 　本文主要记录我在学习机器学习过程中对梯度概念复习的笔记，主要参考《高等数学》《简明微积分》以及维基百科上的资料为主，文章小节安排如下： 　1）导数 　2）导数和偏导数 　3）导数与方向导数 　4）导数与梯度 　5）梯度下降法 导数 　一张图读懂导数与微分： 　 　这是高数中的一张经典图

z = f(x,y) x,y属于集合D，M0（x0，y0）属于集合D 见图可知，可以类比于上山下山的过程，在M0点是此时在p0点的一个向下的投影，在p0点存在上山下山情况，可以去各个方向。过m0点做一条射线l，上面存在m点(x0+Δx,y0+Δy)在l上在l上，Δz = f(x0+Δx,y0+Δy)-f(x0,y0) , m0到m的距离为k=√Δx^2+Δy^2 , k→0时 if 极限存在 lim ΔZ /k 此极限为z=f（x,y）在m0点沿射线l的方向导数，∂z/∂l 在m0点的方向导数。在其他空间上诉仍然成立， （cosα ，cosβ） 为方向角是在向量a（x,y）方向上的单位向量，cosα=x/|a|,cosβ=y/|a| ,方向余弦，方向导数为∂z/∂x *cosα + ∂z/∂y *cosβ=（∂z/∂x，∂z/∂y）*（cosα，cosβ），前面固定的向量为数值在m0点，后面的是在l方向上的单位向量，利用向量公式展开 a*b=|a|*|b|*cosθ ,因为前面展开是常数，所以只是和cosθ 有关，当θ=0时，cosθ去最大为1，因此（∂z/∂x，∂z/∂y）为在该点的梯度，梯度方向是方向导数最大的方向，上升降低最快的方向。 来源： https://www.cnblogs.com/limingqi/p/11604346.html

梯度下降法又称最速下降法，是求解无约束最优化问题的一种最常用的方法，在对损失函数最小化时经常使用。梯度下降法是一种迭代算法。选取适当的初值x (0) ，不断迭代，更新x的值，进行目标函数的极小化，直到收敛。由于负梯度方向时使函数值下降最快的方向，在迭代的每一步，以负梯度方向更新x的值，从而达到减少函数值的目的。提到梯度下降法，就不得不提到方向导数与梯度了。 1.方向导数 设函数z=f(x,y)在点p(x,y)的某一邻域U(P)内有定义，自点P引射线l。 设x轴 正向到射线l的转角为φ， 并设P '(x+Δx, y+Δy)为l上的另一个点且P'也在邻域U(P)内 。 考虑若 ，若此极限存在，则称此极限为函数f(x,y)在点P沿方向l的方向导数，记作 ，即 2.方向导数与偏导数的关系 定理 ： 如果函数z=f(x,y)在点p(x,y)是可微分的，那么函数在该点沿任一方向l的方向导数都存在，且有 ，其中φ为x轴到方向l的转角。 简要证明： 由此可将该定理推向更高维的函数，例如对于三元函数u=f(x,y,z)，定义它在空间一点P(x,y,z)向某方向（设方向的方向角为α，β，γ）的方向导数如下 ， 故有 3.梯度 设函数z=f(x,y)在平面区域D内有一阶连续偏导数，则对于区域D内的任一点p(x,y)及任一方向l，有 其中向量 称为函数f(x,y)在点P的梯度，记作 grad f(x,y)