PCA

PCA 就是找出数据最主要的方面，用数据里最主要的方面来代替原始数据。

PCA 是最重要的降维方法之一，在数据压缩、消除冗余和数据噪音消除等领域都有广泛的应用。

1. PCA最大可分性的思想

最大可分性： 样本点在超平面上的投影尽可能的分开

2. 基变换（线性变换）

欲获得原始数据新的表示空间，最简单方法是对原始数据进行基变换（线性变换）。

3. 方差

如何选择一个方向或者基才是最优的？基于PCA最大可分思想，我们要找的方向是降维后损失最小，可以理解为投影后的数据尽可能分得开，而分散程度可以用数学上的方差来表示，因为方差越大数据也就越分散。

4. 协方差

在高维变换中，我们希望基变换后选择的各个方向（或者基）是不相关的，这样才能表示更多的信息。数学上使用协方差表示相关性：
\[ Cov(a,b) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}a_ib_i \]
如果 \(Cov(a,b)=0\) ，则表示两个字段完全独立，这也是我们的优化目标。

5. 协方差矩阵

我们想达到的目标（\(Cov(a,b)=0\)） 与 字段内方差 及 字段间协方差 有着密切的关系。假设只有 \(a, b\) 两个字段，按行组成 \(X\) ，求取协方差矩阵：

可见，协方差矩阵是一个对称的矩阵，对角线是各个维度的方差（字段内方差），而其它元素是字段间协方差，两者被统一到了一个矩阵之中。

6. 协方差矩阵对角化

我们的目标是使 \(Cov(a,b)=0\) ，由协方差矩阵可知我们的优化目标 \(C=\frac{1}{m}XX^T\) 等价于协方差矩阵对角化（除对角线以外的其它元素都为0，并且对角线将元素按照大小从上到下排列）。

推导：

7. PCA算法流程

输入： \(n\) 维样本集 \(X = (x_1, x_2, ... ,X_m)\)，要降维到的维数 \(n^{'}\)

输出： 降维后的样本集 \(Y\)

算法：

1）对所有样本进行中心化 \(x_i = x_i -\frac{1}{m}\sum_{j=1}^mx_j\)

2）计算样本的协方差矩阵 \(C=\frac{1}{m}XX^T\)

3）求出协方差矩阵的特征值以及对应的特征向量

4）将特征向量按对应特征值大小从上到下排列成矩阵，取前 \(K\) 行组成矩阵 \(P\)

5）\(Y=PX\) 即为原始样本降维到 \(K\) 维后的数据矩阵

代码：

"""
    这里假设原始数据集为矩阵 dataMat，其中每一行代表一个样本，每一列代表同一个特征（与上面的介绍稍有不同，上      面是每一列代表一个样本，每一行代表同一个特征）。
"""

import numpy as np

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# (1)零均值化
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def zeroMean(dataMat):        
    meanVal=np.mean(dataMat,axis=0)     #按列求均值（axis=0），即求各个特征的均值  
    newData=dataMat-meanVal  
    return newData,meanVal             # newData是零均值化后的数据，meanVal是每个特征的均值


################################
# (2)求协方差矩阵
# 若rowvar=0，说明传入的数据一行代表一个样本；
# 若非0，说明传入的数据一列代表一个样本。
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newData,meanVal=zeroMean(dataMat)  
covMat=np.cov(newData,rowvar=0)        


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# (3)求特征值和特征矩阵
# eigVals存放特征值，行向量
# eigVects存放特征向量，每一列带别一个特征向量
# 特征值和特征向量是一一对应的
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eigVals,eigVects=np.linalg.eig(np.mat(covMat)) 


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# (4)保留比较大的前n个特征向量
# 第三步得到了特征值向量eigVals，假设里面有m个特征值，我们可以对其排序，排在前面的n个特征值所对应的特征  # 向量就是我们要保留的，它们组成了新的特征空间的一组基n_eigVect
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eigValIndice=np.argsort(eigVals)            #对特征值从小到大排序  
n_eigValIndice=eigValIndice[-1:-(n+1):-1]   #最大的n个特征值的下标，首先argsort对特征值是从小到大排序的，那么最大的n个特征值就排在后面，所以eigValIndice[-1:-(n+1):-1]就取出这个n个特征值对应的下标（python里面，list[a:b:c]代表从下标a开始到b，步长为c）  
n_eigVect=eigVects[:,n_eigValIndice]        #最大的n个特征值对应的特征向量


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# (5)获取降维后的数据
# 将零均值化后的数据乘以n_eigVect就可以得到降维后的数据
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lowDDataMat=newData*n_eigVect               #低维特征空间的数据  
reconMat=(lowDDataMat*n_eigVect.T)+meanVal  #重构数据