绝对值函数

前言

典例剖析

例1当\(x\in [\cfrac{3}{2},4]\)时，不等式\(|ax^2+bx+4a|\leqslant 2x\)恒成立，则\(6a+b\)的最大值是_______________。

分析：由于\(x\in [\cfrac{3}{2},4]\)，故两边同除以\(x\)，得到\(|ax+\cfrac{4a}{x}+b|\leqslant 2\)，

设\(f(x)=ax+\cfrac{4a}{x}+b=a(x+\cfrac{4}{x})+b\)，由于\(x\in [\cfrac{3}{2},4]\)，则\(x+\cfrac{4}{x}\in [4,5]\)，

由于\(|f(x)|\leqslant 2\)，故得到

\(-2\leqslant 4a+b\leqslant 2\)；\(-2\leqslant 5a+b\leqslant 2\)；

\(6a+b=-(4a+b)+2(5a+b)\)，

而\(-2+2\times (-2)\leqslant 6a+b\leqslant 2+2\times2\)，

故\((6a+b)_{max}=6\)

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