从第九章开始，学习总结的东西有所不同了，第2-8章是分类问题，都属于监督学习，第9章EM算法是非监督学习。本文主要是总结EM算法的应用以及处理问题的过程和原理推导。
EM算法
EM算法(期望极大算法 expectation maximization algorithm)是一种迭代算法。当我们面对概率模型的时候，既有观测变量，又含有隐变量或者潜在变量。如果概率模型的变量都是观测变量，那么给定数据，可以直接使用极大似然估计法或者贝叶斯估计模型估计参数，但是，当模型含有隐变量的时候，就不能简单地这样估计，此时，在1977年，Dempster等人总结提出EM算法：E步：求期望(expectation);M步：求极大值(maximization)。
\[
输入：观测变量数据Y，隐变量数据Z，联合分布P(Y,Z|\theta)，条件分布P(Z|Y,\theta)。\\
输出：模型参数\theta。\\
(1)选择参数的初值\theta^{(0)}，开始迭代。\\
(2)**E步：**记\theta^{(i)}为第i次迭代参数\theta的估计值，在第i+1次迭代的E步，\\计算\begin{aligned} Q(\theta,\theta^{(i)}) =& E_Z\big[\ln P(Y,Z|\theta) | Y, \theta^{(i)}\big] \ =& \sum_Z \ln P(Y,Z|\theta)P(Z|Y,\theta^{(i)}) \end{aligned}\\这里，P(Z|Y,\theta^{(i)})是在给定观测数据Y和当前的参数估计\theta^{(i)}下隐变量数据Z的条件概率分布。\\
(3)**M步：**求使得Q(\theta,\theta^{(i)})极大化的\theta，确定第i+1次迭代的参数估计值\theta^{(i+1)} \theta^{(i+1)}=\mathop{\arg \max} \limits_{\theta} Q(\theta,\theta^{(i)}) \\(4)重复第(2)步和第(3)步，直到收敛（收敛条件：\theta^{(i)}和\theta^{(i+1)}很接近，\\或者是Q(\theta^{(i+1)},\theta^{(i)})和Q(\theta^{(i)},\theta^{(i-1)})很接近）。
函数Q(\theta,\theta^{(i)})是EM算法的核心，称为Q函数。
\]
推导过程
上述阐述了EM算法，可是为什么EM算法能近似实现对观测数据的极大似然估计呢？下面通过近似求解观测数据的对数似然函数的极大化问题来导出EM算法，从而了解EM算法的作用。
在推导过程中用到的公式：
\[ Jenson不等式：f(\sum_i \alpha_i x_i) \geqslant \sum_i \alpha_i f(x_i)其中函数f是凸函数，\\那么对数函数也是凸函数，\displaystyle \sum_i \alpha_i = 1，\alpha_i表示权值，0 \leqslant \alpha_i \leqslant 1 \]
\[ 首先有一个需要观测的向量\theta，观测数据Y=(y_1,y_2,\cdots,y_N)，隐变量Z=(z_1,z_2,\cdots,z_N)，\\当求解\theta时，似然函数为\begin{aligned} L(\theta) = \ln P(Y|\theta) \ = \ln \sum_Z P(Y,Z|\theta) \ = \ln ( \sum_Z P(Z|\theta) P(Y|Z,\theta) ) \end{aligned} \\假设在第i次迭代后\theta的估计值为\theta^{(i)}，希望新估计值\theta能使L(\theta)增加，即L(\theta) > L(\theta^{(i)})，则可计算两者的差：\\ L(\theta)-L(\theta^{(i)}) = \ln ( \sum_Z P(Z|\theta) P(Y|Z,\theta) ) - \ln P(Y|\theta^{(i)})\\ 一般来说，对\ln P_1 P_2 \cdots P_N比较好处理，但是如果是\ln \sum P_1 P_2就不好处理，\\为了将\sum求和符号去掉，用Jenson不等式进行缩放处理。\\ 对于上述形式，对Z求和，要如何凑出来一个具有Jenson不等式中的\alpha_i呢？\\很容易想到，关于Z的密度函数，该密度函数取值求和为1，需要构造一个Z的概率分布。\\ \begin{aligned}L(\theta)-L(\theta^{(i)}) = \ln ( \sum_Z P(Z|\theta) P(Y|Z,\theta)) - \ln P(Y|\theta^{(i)}) \\ = \ln ( \sum_Z P(Z|Y,\theta^{(i)}) \frac{P(Z|\theta)P(Y|Z,\theta)}{P(Z|Y,\theta^{(i)})} ) - \ln P(Y|\theta^{(i)}) \end{aligned}\\ 由Jesson不等式，\displaystyle \ln ( \sum_Z P(Z|Y,\theta^{(i)}) \frac{P(Z|\theta)P(Y|Z,\theta)}{P(Z|Y,\theta^{(i)})} ) \geqslant \sum_Z P(Z|Y,\theta^{(i)}) \ln \frac{P(Z|\theta)P(Y|Z,\theta)}{P(Z|Y,\theta^{(i)})}\\ \displaystyle \because \ln P(Y|\theta^{(i)}) = \sum_Z P(Z|Y,\theta^{(i)}) \ln P(Y|\theta^{(i)})\\ \begin{aligned} \therefore L(\theta)-L(\theta^{(i)}) \geqslant \sum_Z P(Z|Y,\theta^{(i)}) \ln \frac{P(Z|\theta)P(Y|Z,\theta)}{P(Z|Y,\theta^{(i)})} - \sum_Z P(Z|Y,\theta^{(i)}) \ln P(Y|\theta^{(i)}) \\= \sum_Z P(Z|Y,\theta^{(i)}) \ln \frac{P(Z|\theta)P(Y|Z,\theta)}{P(Z|Y,\theta^{(i)}) P(Y|\theta^{(i)})} \end{aligned}\\ 令\displaystyle B(\theta,\theta^{(i)}) = L(\theta^{(i)}) + \sum_Z P(Z|Y,\theta^{(i)}) \ln \frac{P(Z|\theta)P(Y|Z,\theta)}{P(Z|Y,\theta^{(i)}) P(Y|\theta^{(i)})} \\ \therefore L(\theta) \geqslant B(\theta,\theta^{(i)})，\\也就是说B(\theta,\theta^{(i)})是L(\theta)的一个下界，要最大化L(\theta)，即最大化B(\theta,\theta^{(i)})。\\ \begin{aligned} \therefore \theta^{(i+1)} = \mathop{\arg \max} \limits_{\theta} B(\theta,\theta^{(i)}) = \mathop{\arg \max} \limits_{\theta} ( \sum_Z P(Z|Y,\theta^{(i)}) \ln P(Z|\theta)P(Y|Z,\theta)) \\ = \mathop{\arg \max} \limits_{\theta} ( \sum_Z P(Z|Y,\theta^{(i)}) \ln P(Y,Z|\theta)) \end{aligned}\\ \displaystyle \because Q(\theta, \theta^{(i)}) = \sum_Z \ln P(Y,Z|\theta) P(Z|Y,\theta^{(i)}) \\ \displaystyle \therefore \theta^{(i+1)} = \mathop{\arg \max} \limits_{\theta} (Q(\theta, \theta^{(i)}))\\ 等价于EM算法的M步，E步等价于求\displaystyle \sum_Z P(Z|Y,\theta^{(i)}) \ln P(Y,Z|\theta)，\\以上就得到了EM算法，通过不断求解下界的极大化逼近求解对数似然函数极大化。 \]
EM算法在高斯混合模型学习中的应用
高斯混合模型
\[ 高斯混合模型是指具有如下形式的概率分布模型：\\P(y|\theta)=\sum_{k=1}^K \alpha_k \phi(y|\theta_k)\\其中，\alpha_k是系数，\displaystyle \alpha_k \geqslant 0, \sum_{k=1}^K \alpha_k = 1，\phi(y|\theta_k)是高斯分布密度，\\\theta_k=(\mu_k, \sigma_k^2)，\phi(y|\theta)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_k} \exp \left( -\frac{(y-\mu_k)^2}{2\sigma_k^2} \right)称为第k个分模型。\\ 首先介绍高斯混合模型，只考虑简单的一维随机变量y，高斯分布就是正态分布，\\y \sim N(\mu, \sigma^2)，给定y的观测值，就可以很容易求出\mu和\sigma^2，但是目前y不是来自高斯分布，\\而是有一定概率的来自于两个不同的高斯分布N(\mu_1, \sigma_1^2)和N(\mu_2, \sigma_2^2)，这个就是两个高斯分布的混合，\\并不知道y来自于哪一个高斯分布，这里涉及到了隐变量。对于包含隐变量的参数估计，对此可以做以下处理。\\用一个向量\gamma表示z，如果z=1，则\gamma=(1,0,0,\cdots,0)，\\如果z=2，则\gamma=(0,1,0,\cdots,0)，这个相当于One-hot，\\也就是说z是第i个高斯分布，在\gamma的第i个分量为1，其他分量都为0。 \]
推导过程
明确隐变量，写出完全数据的对数似然函数
\[ 根据EM算法，存在一个隐变量\gamma，\gamma表示当前的y来自的高斯分布，对于第一个观测值，\\有\gamma_1=(\gamma_{11},\gamma_{12},\cdots,\gamma_{1K})，其中根据书中的\gamma_{jk}的定义：\gamma_{jk} = \left\{ \begin{aligned} 1, & 第j个观测来自第k个分模型 \\ 0, & 否则 \end{aligned}\right. \\ j = 1,2,\cdots, N; k=1, 2,\cdots,K以上是随机变量的分布，取第1个值的概率为\alpha_1，\\取第2个值的概率为\alpha_2，……，取第K个值的概率为\alpha_K，一旦知道\gamma_1的值，就知道从第几个高斯分布中抽取y_1。\\ \begin{aligned} p(\gamma_1,y_1|\theta)= p(\gamma_1|\theta) \cdot p(y_1 | \gamma_1,\theta) \\ = \alpha^{\gamma_{11}}1 \cdot \alpha^{\gamma{12}}2 \cdots \alpha^{\gamma{1K}}K \phi(y_1|\theta_1)^{\gamma{11}} \phi(y_2|\theta_2)^{\gamma_{12}} \cdots \phi(y_1|\theta_K)^{\gamma_{1K}} = \prod_{k=1}^K [ \alpha_k \phi(y_1 | \theta_k) ]^{\gamma_{1k}} \end{aligned}\\这个是第1个样本点完全数据的密度函数。在极大化似然估计中是极大化似然函数，这需要所有样本点的联合分布，\\对于所有的样本点，概率密度函数为 \\P(y,\gamma|\theta)=\prod_{j=1}^N \prod_{k=1}^K [\alpha_k \phi(y_j | \theta_k)]^{\gamma_{jk}}\\\displaystyle \because \prod_{j=1}^N \prod_{k=1}^K \alpha_k^{\gamma_{jk}} = \prod_{k=1}^K \alpha_k^{\sum_{j=1}^N \gamma_{jk}}，\displaystyle \sum_{j=1}^N \gamma_{jk}表示在N个样本点中，一共有多少个是来自第k个高斯分布的，将该数量记为\\\displaystyle n_k=\sum_{j=1}^N \gamma_{jk}，n_1+n_2+\cdots+n_K=N\\ \displaystyle \therefore \prod_{k=1}^K \alpha_k^{\sum_{j=1}^N \gamma_{jk}} = \prod_{k=1}^K \alpha_k^{n_k}\\ \displaystyle \therefore \prod_{j=1}^N \prod_{k=1}^K \alpha_k^{\gamma_{jk}} = \prod_{k=1}^K \alpha_k^{n_k}\\ \displaystyle \therefore P(y, \gamma|\theta) = \prod_{k=1}^K \alpha_k^{n_k} \prod_{j=1}^N \big[\phi(y_i|\theta_k)\big]^{\gamma_{jk}} = \prod_{k=1}^K \alpha_k^{n_k} \cdot \prod_{j=1}^N [ \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma_k} \exp\left(-\frac{(y_j-\mu_k)^2}{2 \sigma_k^2} ) \right]^{\gamma_{jk}}\\ \displaystyle \therefore \ln P(y, \gamma|\theta) = \sum_{k=1}^K \{ n_k \ln \alpha_k + \sum_{j=1}^N \gamma_{jk} [\ln (\frac{1}{\sqrt{2\pi}}) - \ln \sigma_k - \frac{1}{2 \sigma_k^2} (y_j - \mu_k)^2] \} \\ \]
EM算法的E步，确定Q函数
\[ 将隐变量都换成期望，隐变量有\gamma_{jk}和n_k\\ \displaystyle \because E(n_k) = E \left(\sum_j \gamma_{jk} \right) = \sum_j E(\gamma_{jk})，E(\gamma_{jk} | \theta^{(i)},y) = P(\gamma_{jk}=1| \theta^{(i)},y)，\\求解期望时，是根据上一步的\theta^{(i)}以及观测数据所有的y_j，需要知道\gamma_{jk}的分布P(\gamma_{jk}=1|\theta^{(i)},y)。\\ \begin{aligned} \because P(\gamma_{jk}=1|\theta^{(i)},y) =& \frac{P(\gamma_{jk}=1,y_j | \theta^{(i)})}{P(y_j|\theta^{(i)})} \\ =& \frac{P(\gamma_{jk}=1,y_j | \theta^{(i)})}{\displaystyle \sum_{k=1}^K P(\gamma_{jk}=1,y_j | \theta^{(i)})} \\ =& \frac{P(\gamma_{jk}=1|\theta^{(i)})P(y_i|\gamma_{jk}=1, \theta^{(i)})}{\displaystyle \sum_{k=1}^K P(y_j | \gamma_{jk}=1,\theta^{(i)}) P(\gamma_{jk}=1|\theta^{(i)})} \end{aligned}\\ \because \alpha_k=P(\gamma_{jk}=1|\theta), \phi(y_i|\theta)=P(y_i | \gamma_{jk}=1,\theta)\\ \displaystyle \therefore E(\gamma_{jk} | y, \theta^{(i)}) = P(\gamma_{jk}=1|\theta^{(i)},y) = \frac{\alpha_k \phi(y_i|\theta^{(i)})}{\displaystyle \sum_{k=1}^K \alpha_k \phi(y_i|\theta^{(i)})}，其中\theta^{(i)}=(\alpha_k^{(i)}, \theta_k^{(i)})\\ 将\gamma_{jk}关于给定y和\theta^{(i)}的条件下的期望记为Z_k=E(\gamma_{jk} | y, \theta^{(i)})，\\因为各个样本之间是独立同分布的，所以Z_k是和j无关的。\\ \displaystyle \therefore Q(\theta, \theta^{(i)}) = E_Z \big[ln P(y,\gamma | \theta^{(i)})\big] = \sum_{k=1}^K \left\{ (N Z_k) \ln \alpha_k + Z_k \sum_{j=1}^N [ \ln (\frac{1}{\sqrt{2\pi}}) - \ln \sigma_k - \frac{1}{2 \sigma_k^2} (y_j - \mu_k)^2] \right\} \]
确定EM算法的M步
\[ 需要估计的变量有\alpha_k,\sigma_k,\mu_k，然后求偏导等于0：\\\begin{array}{l} \displaystyle \frac{\partial Q(\theta, \theta^{(i)})}{\partial \mu_k} = 0 \\ \displaystyle \frac{\partial Q(\theta, \theta^{(i)})}{\partial \sigma_k^2} = 0 \\ \left \{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{\partial Q(\theta, \theta^{(i)})}{\partial \alpha_k} = 0 \\ \sum \alpha_k = 1 \end{array} \right . \end{array}\\根据上述公式可以推导出：\begin{array}{l} \mu_k^{(i+1)} = \frac{\displaystyle \sum_{j=1}^N \hat{\gamma_{jk}} y_j}{\displaystyle \sum_{j=1}^N \hat{\gamma_{jk}} } \\ (\sigma_k^2)^{(i+1)} = \frac{\displaystyle \sum_{j=1}^N \hat{\gamma_{jk}} (y_i - \mu_k)^2}{\displaystyle \sum_{j=1}^N \hat{\gamma_{jk}} } \\ \displaystyle \alpha_k^{(i+1)} = \frac{n_k}{N}= \frac{\displaystyle \sum_{j=1}^N \hat{\gamma_{jk}}}{N} \\ \end{array},其中\displaystyle \hat{\gamma_{jk}}=E \gamma_{jk}, n_k = \sum_{j=1}^N E \gamma_{jk}, k=1,2,\cdots,K \]
EM算法的推广
GEM算法
\[ 输入：观测数据，Q函数\\ 输出：模型参数\\ (1)初始化参数\theta^{(0)}=(\theta^{(0)}_1,\theta^{(0)}_2,\cdots,\theta^{(0)}_d)，开始迭代；\\ (2)第i+1次迭代，第1步：记\theta^{(i)}=(\theta^{(i)}_1,\theta^{(i)}_2,\cdots,\theta^{(i)}_d)为参数\theta=(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_d)的估计值，计算\\\begin{aligned} Q(\theta,\theta^{(i)}) =& E_Z\big[ \log P(Y,Z|\theta)|Y,\theta^{(i)} \big] \ =& \sum_Z P(Z|Y,\theta^{(i)}) \log P(Y,Z|\theta) \end{aligned}\\ (3)第2步：进行d次条件极大化： 首先，在\theta^{(i)}_2,\theta^{(i)}_3,\cdots,\theta^{(i)}_k保持不变的条件下求使得Q(\theta,\theta^{(i)})达到极大的\theta^{(i+1)}_1；\\ 然后，在\theta_1=\theta^{(i+1)}_1,\theta_j=\theta^{(j)}_j,j=3,4,\cdots,k的条件下求使Q(\theta,\theta^{(i)})达到极大的\theta^{(i+1)}；\\ 如此继续，经过d次条件极大化，得到\theta^{(i+1)}=(\theta^{(i+1)}_1,\theta^{(i+1)}_2,\cdots, \theta^{(i+1)}_d)使得Q(\theta^{(i+1)},\theta^{(i)}) > Q(\theta^{(i)},\theta^{(i)})\\ (4)重复(2)和(3)，直到收敛。 \]