ORZ foreverlasting聚聚,QQ上问了他好久才会了这题(所以我们又聊了好久的Gal)
我们先来尝试推导一下\(S\)的性质,我们利用狄利克雷卷积来推:
\[2^\omega=I\ast|\mu|\]
这个很好理解吧,考虑一下它的组合意义即可
然后两边同卷上\(I\)有:
\[2^\omega \ast I=I\ast I\ast |\mu|=d\ast |\mu|\]
后面还是同样,考虑\(d\ast |\mu|\)的组合意义,一正一反的情况下其实就是\(d(n^2)\)
因此我们有了\(2^\omega\ast I=d(n^2)\),即\(S(n)=d(n^2)\)
那么显然\(S\)现在是个积性函数了,答案又是阶乘的形式,因此可以从\(n-1\)的答案推到\(n\)来
考虑一个非常暴力的过程,每次暴力分解质因数,复杂度大概是\(O(n\sqrt n)\)的
然后你只需要一台好一点的电脑我仿佛已经闻到了CPU的香气
然后考虑怎么优化这个过程,我们发现类似于某个套路,这种方法之所以慢是因为会出现不必要的枚举,因此我们只需要记录一下每个数的最小质因数,然后每次直接除去即可,顺带把贡献算一下
这样的复杂度很迷啊,加藤聚聚说是一个\(\log\)的,我感觉还要再少点,毕竟向下除至少去掉一个\(2\)
那么我们就可以很快的做掉这道题了(用自己的笔记本跑了2s就出来了)
#include<cstdio> #define RI register int #define CI const int& using namespace std; const int N=10000000,mod=1000000087; int prime[N+5],cnt,mnp[N+5],bkt[N+5],inv[(N<<1)+5],ret=1,ans; #define Pi prime[j] inline void init(void) { RI i,j; for (mnp[1]=1,i=2;i<=N;++i) { if (!mnp[i]) mnp[i]=i,prime[++cnt]=i; for (j=1;j<=cnt&&1LL*i*Pi<=N;++j) { mnp[i*Pi]=Pi; if (i%Pi==0) break; } } for (inv[0]=inv[1]=1,i=2;i<=(N<<1)+1;++i) inv[i]=1LL*inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod; } #undef Pi inline void inc(int& x,CI y) { if ((x+=y)>=mod) x-=mod; } inline int sum(CI x,CI y) { int t=x+y; return t>=mod?t-mod:t; } int main() { freopen("ans.txt","w",stdout); init(); for (RI i=2;i<=N;++i) { ret=1LL*ret*inv[bkt[i]+1]%mod; inc(bkt[i],2); ret=1LL*ret*(bkt[i]+1)%mod; for (int x=i;x!=mnp[x];x/=mnp[x]) { if (x/mnp[x]==mnp[x]) { ret=1LL*ret*inv[bkt[x]+1]%mod*inv[bkt[mnp[x]]+1]%mod; inc(bkt[mnp[x]],sum(bkt[x],bkt[x])); ret=1LL*ret*(bkt[mnp[x]]+1)%mod; bkt[x]=0; } else { ret=1LL*ret*inv[bkt[x]+1]%mod*inv[bkt[mnp[x]]+1]%mod*inv[bkt[x/mnp[x]]+1]%mod; inc(bkt[mnp[x]],bkt[x]); inc(bkt[x/mnp[x]],bkt[x]); ret=1LL*ret*(bkt[mnp[x]]+1)%mod*(bkt[x/mnp[x]]+1)%mod; bkt[x]=0; } } inc(ans,ret); } return printf("%d",ans),0; }