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反向传播算法简介（BP，Backpropagation algorithm）
原文：http://neuralnetworksanddeeplearning.com/chap2.html
BP 算法所关注的是神经网络中损失函数 C (cost function) 与每一个权重 和偏置 的偏导。BP 不仅仅是一个快速的算法，其同时为我们提供了一个视角，让我们观察权值和偏置是如何影响网络输出的。
译者注：本文中所描述的网络以层为单位，如果把层当做图的节点，数据流向作为图的有向边，那么本文所描述的网络所抽象出的图一定是有向无环的。本文并没有翻译原文所有内容。
热身：利用矩阵实现网络计算
先介绍一个网络权重的数学标记法：，这个数学标记表示神经网络中第 层网络的第 个元素和第 层第 个元素之间的权重。同样， 表示第 层第 个元素的偏置值， 表示 层第 个元素的激活函数输出值。利用这种数学表示， 可以表示为：
使用矩阵形式表示上述表达式：
定义 为激活函数的输入值则可以将上面表达式 表示为：
损失函数的两个特点
BP 算法用于计算网络中所有权重 和偏置 关于损失函数 的偏导数 和。为了使 BP 算法正常运行，损失函数需要满足两个条件。在给出这两个条件前，我们先介绍一种常用的均方差损失函数，如式所示：
表达式 中变量解释如下， 是训练网络的样本个数； 是训练样本 的期望值（也就是样本的标签）； 表示网络的层数； 是网络在输入为 时输出层的输出。
现在描述我们对损失函数的要求。首先，损失函数可以写成所有训练样本损失值均值的形式： 。
我们做上面的要求是因为训练的过程中我们常常使用批训练的方式，而不是每次只训练一个样本。批训练之后我们求当前批次样本损失值的平均数来更新权重和偏置，所以损失函数要满足叠加定理。
其次，损失函数可以使用网络输出层的输出作为参数：， 是网络输出层的输出，如果不满足这个要求我们将不能定量分析网络的性能。以均方差损失函数为例，当样本为时，网络的损失值为：
上式中所有元素的值都是已知的， 是标签、 是网络输出层的输出。
Hadamard 积，
Hadamardd 积（哈达玛积）表示矩阵按对应元素做乘法：，例如：
BP 算法所依赖的四个方程
BP 算法用于计算网络中权值与偏置关于网络损失值的偏导，也就是计算：和 。在给出这四个方程前我们先引入一个中间变量 ，这个变量表示网络第 层第 个元素的输入值（）对整个网络损失的影响。BP 算法可以帮我们计算出 ，然后我们就可以通过 得到和