线性代数之——对角化和伪逆

这部分我们通过选择更好的基底来产生更好的矩阵。当我们的目标是对角化矩阵时，一个选择可以是一组特征向量基底，另外一个选择可以是两组基底，输入基底和输出基底是不一样的。这些左右奇异向量是矩阵四个基本子空间中标准正交的基向量，它们来自于 SVD。

事实上，所有对 $A$ 的分解都可以看作是一个基的改变。在这里，我们只关注两个突出的例子，有一组基的 $\Lambda$ 和有两组基的 $\Sigma$。

$S^{-1} AS=\Lambda$ 如果输入和输出基都是 $A$ 的特征值。
$U^{-1} AV=\Sigma$ 如果这些基分别是 $A^TA$ 和 $AA^T$ 的特征值。

只有当 $A$ 是方阵并且有 $n$ 个不相关的特征向量时，我们才能将其对角化成 $\Lambda$。而通过 SVD，任意矩阵都可以对角化成 $\Sigma$。如果一个矩阵是对称的、反对称的或者正交的，那么有 $A^TA=AA^T$，在这种情况下，奇异值是特征值的绝对值，上面的两个对角化形式除了一个 $-1$ 或者 $e^{i\theta}$ 的因子外是相同的。

另外，注意 Gram-Schmidt 分解 $A=QR$ 只选择了一个新的基底，也就是通过 $Q$ 给出的输出正交基，而输入基底则是标准基由 $I$ 给出。我们只得到一个上三角矩阵而不是对角矩阵，$A=QRI$ ，输出基矩阵在左边而输入基矩阵在右边。

1. 相似矩阵：$S,S^{-1}AS \space 和 \space W^{-1}AW$

让我们以一个方阵和一组基开始，输入空间 $V$ 和输出空间 $W$ 都是 $R ^n$。在标准基下，线性变换 $T$ 是乘以矩阵 $A$。如果我们改变了输入空间的基，那么矩阵就变成了 $AM$，$M$ 是基变换矩阵；如果我们改变了输出空间的基，那么矩阵就变成了 $M^{-1}A$。

如果以上面同样的方式同时改变了两组基，那么新的矩阵就为 $M^{-1}AM$。而一组好的基是矩阵的特征向量，我们就有 $S^{-1} AS=\Lambda$。

当基中包含特征向量 $\boldsymbol{x_1},\cdots,\boldsymbol{x_n}$ 时，变换 $T$ 对应的矩阵是 $\Lambda$。

证明
要找到矩阵的第一列，输入第一个基向量 $\boldsymbol{x_1}$，由 $A\boldsymbol{x_1}=\lambda_1\boldsymbol{x_1}$ 可得矩阵的第一列为 $(\lambda_1, 0, \cdots,0)$。同理可得其它的每一列，最终矩阵为一个对角矩阵，对角线上元素为特征值。
例子

要找到投影到直线 $y=-x$ 的变换矩阵。坐标 $(1, 0)$ 投影到 $(0.5, -0.5)$，坐标 $(0, 1)$ 投影到 $(-0.5, 0.5)$，所以在标准基下，变换矩阵为

\[A = \begin{bmatrix} 0.5&-0.5 \\ -0.5&0.5\end{bmatrix}\]

如果以 $A$ 的特征向量 $\boldsymbol{x_1}=(1, -1)$ 和 $\boldsymbol{x_2}=(1, 1)$ 为基的话：$\boldsymbol{x_1}$ 与直线共线，投影后还是其自身；$\boldsymbol{x_2}$ 垂直于直线，投影后为零向量，所以在这组基下的变换矩阵为

\[\Lambda = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&0\end{bmatrix}\]

如果选择另外一组基 $\boldsymbol{v_1}=\boldsymbol{w_1}=(2, 0)$ 和 $\boldsymbol{v_2}=\boldsymbol{w_2}=(1, 1)$。

我们可以一列一列找到变换矩阵，$\boldsymbol{v_1}=(2, 0)$，投影后坐标为 $(1, -1)=\boldsymbol{w_1}-\boldsymbol{w_2}$；$\boldsymbol{v_2}=(1, 1)$，投影后为零向量，所以在这组基下的变换矩阵为

\[B = \begin{bmatrix} 1&0 \\ -1&0\end{bmatrix}\]

另外我们也可以利用基变换矩阵，由 $V,W\to I$ 标准基的基变换矩阵 $M$ 为

\[M = \begin{bmatrix} 2&1 \\ 0&1\end{bmatrix}\]

接下来，我们先将输入变换到标准基下，再应用标准基下的变换矩阵 $A$，最后再将输出变换到 $W$ 空间下，这样得到的以 $V,W$ 为基的变换矩阵就为

\[B=M^{-1}AM=\begin{bmatrix} 1&0 \\ -1&0\end{bmatrix}\]

这和上面的结果是一样的，还说明了 $B$ 和 $A$ 是相似的，对于任意的非标准基底，我们都可以采用类似的方式来求取变换矩阵。

2. SVD

现在，输入基 $\boldsymbol{v_1},\cdots,\boldsymbol{v_n}$ 和输出基 $\boldsymbol{u_1},\cdots,\boldsymbol{u_m}$ 不一样，事实上，输入空间 $R^n$ 可以和输出空间 $R^m$ 不一样。同样，最好的矩阵依然是对角矩阵，只不过大小是 $m×n$ 的。为了到达对角矩阵 $\Sigma$，每个输入向量 $\boldsymbol{v_j}$ 必须被变换到输出向量 $\boldsymbol{u_j}$ 的一个倍数，而这个倍数就是对角线上的奇异值。

要说明的是，$A$ 和 $\Sigma$ 代表的是相同的变换，矩阵 $A$ 利用 $R^n$ 和 $R^m$ 中的标准基，而 $\Sigma$ 则以 $\boldsymbol v$ 和 $\boldsymbol u$ 分别作为输入基和输出基，正交矩阵 $V$ 和 $U$ 则代表基变换矩阵。

3. 极分解

每个复数都可以表示成极坐标的形式 $re^{i\theta}$，将这些数想象成一个 $1×1$ 的矩阵，那么 $r\geqslant 0$ 可以看作是是一个半正定矩阵 $H$，$e^{i\theta}$ 可以看作是一个正交矩阵 $Q$，因为 $|e^{i\theta}| = |cos\theta+isin\theta|=1$。极分解将上述的分解扩展到矩阵：正交乘以正定，$A=QH$。

每个实的方阵都可以分解成 $A=QH$ 的形式，其中 $Q$ 是一个正交矩阵，$H$ 是一个对称的半正定矩阵。如果 $A$ 可逆，那么 $H$ 是正定的。

证明

\[V^TV = I \to A=U\Sigma V^T=UV^TV\Sigma V^T = (UV^T)(V\Sigma V^T)=QH\]

第一项两个正交矩阵的乘积还是正交矩阵，第二项是半正定的因为其特征值位于 $\Sigma$ 的对角线上，都大于等于零。

\[H^2=V\Sigma V^TV\Sigma V^T=V\Sigma^2 V^T=A^TA\]

$H$ 是 $A^TA$ 的对称正定平方根。同样地，我们有：

\[U^TU = I \to A=U\Sigma V^T=U\Sigma U^TUV^T = (U\Sigma U^T)UV^T=KQ\]

4. 伪逆

矩阵 $A$ 乘以行空间中的 $\boldsymbol{v_i}$ 得到列空间中的 $\sigma_i\boldsymbol{u_i}$，$A^{-1}$ 应该做相反的操作。如果有 $A\boldsymbol{v}=\sigma\boldsymbol{u}$，那么 $A^{-1}\boldsymbol{u}={\boldsymbol{v}}/{\sigma}$，如果逆矩阵存在的话。

伪逆 $A^+$ 是一个 $n×m$ 的矩阵。可以看到，如果 $A^{-1}$ 存在的话，那么伪逆也就等于逆矩阵，在这种情况下 $n=m=r$，$A^+=A^{-1}=(U\Sigma V^T)^{-1}=V\Sigma^{-1}U^T$。只有当 $r<m$ 或者 $r<n$ 时我们才需要伪逆，伪逆有着相同的秩 $r$。