1 公式

线性回归(Linear Regression)是什么相比不用多说了。格式是这个样子的：
\(f_{w,b}(x)=\sum_i{w_ix_i}+b\)

而逻辑回归（Logistic Regression）的样子呢？
\(f_{w,b}(x)=\sigma(\sum_i{w_ix_i}+b)\)

要记住的第一句话：逻辑回归可以理解为在线性回归后加了一个sigmoid函数。将线性回归变成一个0~1输出的分类问题。

2 sigmoid

sigmoid函数就是：
\(\sigma(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}\)

函数图像是：

线性回归得到大于0的输出，逻辑回归就会得到0.5~1的输出；
线性回归得到小于0的输出，逻辑回归就会得到0~0.5的输出；

这篇文章的重点，在于线性回归的参数估计使用的最小二乘法，而而逻辑回归使用的是似然估计的方法。（当然，两者都可以使用梯度下降的方法）。

3 似然估计逻辑回归参数

举个例子，现在我们有了一个训练数据集，是一个二分类问题：

上面的\(x^1\)是样本，下面的\(C_1\)是类别，总共有两个类别。

现在假设我们有一个逻辑回归的模型：
\(f_{w,b}(x)=\sigma(\sum_i{w_ix_i}+b)\)
那么\(f_{w,b}(x^1)\)的结果，就是一个0~1的数，我们可以设定好，假设这个数字就是是类别\(C_1\)的概率，反之，1减去这个数字，就是类别\(C_2\)的概率。

似然简单的理解，就是让我们上面的数据集出现的概率最大

我们来理解一下：

\(x_1\)是\(C_1\)的概率是\(f_{w,b}(x^1)\);
\(x_2\)是\(C_1\)的概率是\(f_{w,b}(x^2)\);
\(x_3\)是\(C_2\)的概率是\(1-f_{w,b}(x^3)\);
……
\(x_N\)是\(C_1\)的概率是\(f_{w,b}(x^N)\);

样本之间彼此独立，那么上面那个数据集的概率是什么？是每一个样本的乘积，这个就是似然Likelihood：

我们希望这个w，b的参数估计值，就是能获得最大化似然的那个参数。也就是：

加上负号之后，就可以变成最小化的问题。当然，加上一个log并不会影响整个的w,b的估计值。因为\(L(w,b)\)最大的时候，\(log(L(w,b))\)也是最大的，log是个单调递增的函数。所以可以得到下面的：
【注意：所有的log其实是以e为底数的自然对数】

log又可以把之前的乘积和，转换成加法。
\(log(L(w,b))=log(f(x^1))+log(f(x^2))+log(1-f(x^3))...\)

然后，为了更加简化这个算是，我们将\(C_1, C_2\)数值化，变成1和0，然后每一个样本的真实标签用\(y\)来表示，所以就可以得到：
\(log(L(w,b))=\sum_i^N{ylog(f(x^i))+(1-y)log(1-f(x^i))}\)
【有点像是二值交叉熵，然而其实就是二值交叉熵。。】

当y=1，也就是类别是\(C_1\)的时候，这个是\(log(f(x^i))\)
当y=0，也就是类别是\(C_2\)的时候，这个是\(1-log(f(x^i))\)

所以其实我们得到的损失函数是：
\(loss=-log(L(w,b))=-\sum_i^N{ylog(f(x^i))+(1-y)log(1-f(x^i))}\)

之前说了，要找到让这个loss最小的时候的w和b，那怎么找？
【无情万能的梯度下降】

所以计算\(\frac{\partial loss}{\partial w}\)，然后乘上学习率就好了。这里就不继续推导了，有耐心的可以慢慢推导，反正肯定能推出来的。
这里放个结果把：
\(\frac{-\partial lnL(w,b)}{\partial w_i}=\sum_n^N{-(y^n-f_{w,b}(x^n))x_i^n}\)