高等代数——同时合同对角化问题
同时合同对角化问题 Theorem： 设$A$是$n$阶正定实对称矩阵，$B$为同阶的实对称矩阵，则必存在可逆矩阵$C$，使得 \[C'AC=I_n,C'BC=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}\] 其中$\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}$为矩阵$A^{-1}B$的特征值. Proof： 由于$A$为正定的，则存在可逆矩阵$P$，使得$P'AP=I_n$.由于矩阵$P'BP$为实对称矩阵，则存在正交矩阵$Q$，使得$Q'(P'BP)Q=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}$. 令$C=PQ$，则满足$C'BC=diag\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}$.由于 \[C'(\lambda A-B)C=\lambda I_n-C'BC=diag\{\lambda-\lambda_1,\cdots,\lambda-\lambda_n\}\] 则$\lambda_i$为多项式$|\lambda A-B|$的根，又$A$可逆，则也为$|\lambda I_n-A^{-1}B|$的根. 利用上述Theorem证明几个例子： Example 1： 设$A$为$n$阶正定实对称矩阵，$B$为同阶半正定实对称矩阵，则$|A+B|\geq |A|+|B|$，等号成立的充要条件是$B